1.Đặt căn x =a ; căn y=b
\(A=\dfrac{a^2}{\left(a+b\right)\left(1-b\right)}-\dfrac{b^2}{\left(a+b\right)\left(a+1\right)}-\dfrac{a^2b^2}{\left(a+1\right)\left(1-b\right)}\\ =\dfrac{a^2\left(a+1\right)-b^2+b^3-a^3b^2-a^2b^3}{\left(a+b\right)\left(a+1\right)\left(1-b\right)}\\ =\dfrac{a^2\left(a+1\right)-b^2\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)+b^3\left(1-a\right)\left(1+a\right)}{\left(a+b\right)\left(a+1\right)\left(1-b\right)}\\ =\dfrac{a^2-a^2b^2+ab^2-b^2+b^3-ab^3}{\left(a+b\right)\left(1-b\right)}\\ =\dfrac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)-ab^2\left(a+b\right)+b^2\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)\left(1-b\right)}\\ =\dfrac{a-b-ab^2+b^2}{\left(1-b\right)}=\dfrac{a\left(1-b\right)\left(1+b\right)+b\left(b-1\right)}{\left(1-b\right)}\)
\(=a+ab+b=\sqrt{x}+\sqrt{xy}+\sqrt{y}\)
2.a)
\(\dfrac{x}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{x}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{x}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=2\\ \Leftrightarrow x\left(\dfrac{1}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{1}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{1}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\right)=2\\ \Leftrightarrow x.\dfrac{\left(b-c\right)+\left(c-a\right)+\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}=2\\ \Leftrightarrow x.\dfrac{0}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}=2\\ \Leftrightarrow x.0=2\\ \Leftrightarrow x\in\varnothing\)
b)
Ta có : b+d =2c <=> d=2c-b
\(\dfrac{x}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}-\dfrac{2x}{\left(a-b\right)\left(a-d\right)}+\dfrac{3x}{\left(a-c\right)\left(a-d\right)}=\dfrac{4a}{\left(a-c\right)\left(a-d\right)}\\ \Leftrightarrow\dfrac{x\left(a-d\right)-2x\left(a-c\right)+3x\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a-d\right)}=\dfrac{4a\left(a-b\right)}{\left(a-c\right)\left(a-d\right)\left(a-b\right)}\\ \Leftrightarrow x\left(a-\left(2c-b\right)\right)+x\left(a-c\right)-3x\left(a-c\right)+3x\left(a-b\right)=4a\left(a-b\right)\\ \Leftrightarrow x\left[\left(a-c\right)-\left(c-b\right)\right]+x\left(a-c\right)-3x\left(b-c\right)=4a\left(a-b\right)\\ \Leftrightarrow2x\left(a-c\right)+2x\left(c-b\right)=4a\left(a-b\right)\\ \Leftrightarrow x\left(a-c+c-b\right)=2a\left(a-b\right)\\ \Leftrightarrow x\left(a-b\right)=2a\left(a-b\right)\\ \Leftrightarrow x=2a\)
Bài 5 :
\(2a^2+b^2+c^2=69\\ \Leftrightarrow2a^2=69-\left(b^2+c^2\right)\\ \Leftrightarrow a=\sqrt{\dfrac{69-\left(b^2+c^2\right)}{2}}\le\sqrt{\dfrac{69-50}{2}}=\sqrt{\dfrac{19}{2}}< 4\\ \Leftrightarrow2a< 8\\ \)
Tương tự : b<8 ; c<=6
Mà a>=2 ; b>=5 ; c>=5 nên ta có :
\(\left(a-2\right)\left(2a-8\right)\le0\\ \left(b-5\right)\left(b-8\right)\le0\\ \left(c-5\right)\left(c-6\right)\le0\\ \Leftrightarrow\left(2a^2-12a+16\right)+\left(b^2-13b+40\right)+\left(c^2-11c+30\right)\le0\\ \Leftrightarrow\left(2a^2+b^2+c^2\right)-\left(12a+13b+11c\right)+86\le0\\ \Leftrightarrow-\left(12a+13a+11c\right)\le-155\\ \Leftrightarrow12a+13b+11c\ge155\)
Min P=155 khi a=2 ; b=5 ; c=6
4.
Kẻ DF // AC ( F thuộc BM)
Vì CD là phân giác của góc ACB nên \(\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{AC}{BC}\)
Xét tam giác NDF và tam giác NCM : có :
góc DNF = góc MNC ( đối đỉnh)
Góc NDF = góc NCM( vì DF // AC)
=> tam giác NDF ~ tam giác NCM ( g-g)
\(\Rightarrow\dfrac{NC}{CM}=\dfrac{ND}{DF}\\ \Rightarrow\dfrac{NC}{ND}=\dfrac{CM}{DF}=\dfrac{AM}{DF}\)
Tam giác ABM có DF // AM nên BD/AB =DF/AM => AM/DF = AB/BD
=> NC/ND = AB/BD
\(\Rightarrow\dfrac{NC}{ND}=\dfrac{AD+BD}{BD}=\dfrac{AD}{BD }+1=\dfrac{AC}{BC}+1\left(đpcm\right)\)
3.
Ta có : Vận tốc bè trôi bằng vận tốc dòng nước
Gọi x(km/h) là vận tốc của xuồng máy
Gọi a(km/h) là vận tốc của bè trôi cũng chính là dòng nước
Ta có : Vận tốc xuồng máy xuôi dòng là : x+a (km/h)
Vận tốc xuồng máy ngược dòng : x-a ( km/h)
Thời gian xuồng máy xuôi dòng là : 48/(x+a)( giờ )
Thời gian xuồng máy ngược dòng cho đến khi gặp bè trôi là 36/(x-a) ( giờ )
Ta có phương trình :
\(\dfrac{48}{x+a}+\dfrac{48}{x-a}=7\left(1\right)\\ \dfrac{48}{x+a}+\dfrac{36}{x-a}=\dfrac{12}{a}\left(2\right)\\ \left(2\right)\Leftrightarrow\dfrac{48\left(x-a\right)+36\left(x+a\right)}{\left(x+a\right)\left(x-a\right)}=\dfrac{12}{a}\\ \Leftrightarrow\dfrac{84x-12a}{\left(x+a\right)\left(x-a\right)}=\dfrac{12}{a}\\ \Leftrightarrow\left(84x-12a\right)a=12\left(x+a\right)\left(x-a\right)\\ \Leftrightarrow\left(7x-a\right)a=x^2-a^2\\ \Leftrightarrow7ax-a^2=x^2-a^2\\ \Leftrightarrow7ax=x^2\\ \Leftrightarrow x=7a\\ \left(1\right)\Leftrightarrow\dfrac{48}{8a}+\dfrac{48}{6a}=7\\ \Leftrightarrow\dfrac{6}{a}+\dfrac{8}{a}=7\\ \Leftrightarrow\dfrac{14}{a}=7\\ \Leftrightarrow a=2\Rightarrow x=14\)
Vậy vận tốc riêng của xuồng máy là 14 km/h ; vận tốc của dòng nước là 2 km/h