Question

Xác định giá trị của m để phương trình \(x^2+2mx-2m-6=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) sao cho biểu thức \(T=x_1^2+x_2^2\) đạt giá trị nhỏ nhất

Answer 1

Lời giải:
Trước tiên, để pt có 2 nghiệm phân biệt thì:

$\Delta'=m^2+2m+6>0\Leftrightarrow (m+1)^2+5>0\Leftrightarrow m\in\mathbb{R}$

Áp dụng định lý Vi-et, với $x_1,x_2$ là nghiệm của pt thì:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-2m\\ x_1x_2=-2m-6\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

$T=x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-2m)^2-2(-2m-6)$

$=4m^2+4m+12=(2m+1)^2+11$. Thấy $(2m+1)^2\geq 0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$ nên $T\geq 11$.

Vậy $T_{\min}=11$ khi $(2m+1)^2=0\Leftrightarrow m=-\frac{1}{2}$