Question

\(x+2=\sqrt{x^2-2x-2}+2\sqrt{x+1}\)

Answer 1

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=a\ge0\\x+2=b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x^2-2x-2=b^2-6a^2\)

Pt trở thành:

\(b=\sqrt{b^2-6a^2}+2a\)

\(\Leftrightarrow b-2a=\sqrt{b^2-6a^2}\)

\(\Rightarrow b^2+4a^2-4ab=b^2-6a^2\)

\(\Rightarrow5a^2-2ab=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\5a=2b\end{matrix}\right.\)

- Với \(a=0\Rightarrow\sqrt{x+1}=0\Rightarrow x=-1\)

Thay vào pt ban đầu thỏa mãn

- Với \(5a=2b\Rightarrow5\sqrt{x+1}=2\left(x+2\right)\)

\(\Rightarrow25\left(x+1\right)=4\left(x+2\right)^2\)

\(\Rightarrow4x^2-9x-9=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\)

Thay vào pt ban đầu cũng thỏa mãn

Vậy nghiệm của pt đã cho là \(x=\left\{-1;-\dfrac{3}{4};3\right\}\)

Answer 2

\(\text{Điều kiện: }x\geq-1\)
                 \(x^2-2x-2\geq0(*)\)

\(x+2=\sqrt{x^2-2x-2}+2\sqrt{x+1}\)
\(\Leftrightarrow\)\(x+2-\sqrt{x^2-2x-2}-2\sqrt{x+1}=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{(x+2)^2-x^2+2x+2}{x+2+\sqrt{x^2-2x-2}}-2\sqrt{x+1}=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{x^2+4x+4-x^2+2x+2}{x+2+\sqrt{x^2-2x-2}}-2\sqrt{x+1}=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{6x+6}{x+2+\sqrt{x^2-2x-2}}-2\sqrt{x+1}=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{x+1}(\dfrac{6\sqrt{x+1}}{x+2}-2)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left[\begin{array}{} \sqrt{x+1}=0\\ 6\sqrt{x+1}=2(x+2) \end{array} \right.\)
\(TH1:\sqrt{x+1}=0 \)
\(\Leftrightarrow\)\(x+1=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(x=-1(\text{thỏa mãn (*))}\)
\(TH2:6\sqrt{x+1}=2(x+2)\text{ Điều kiện: }x\geq=-2\)
\(\Leftrightarrow\)\(36x+36=4x^2+16x+16\)
\(\Leftrightarrow\)\(4x^2-20x-20=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2-5x-5=0\)
\(\text{Ta có }\bigtriangleup = 25+4*5=45>0 \)
\(\text{Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:} \)
\(\begin{cases} x_1=\dfrac{5+3\sqrt{5}}{2}(T/m)\\ x_2=\dfrac{5-3\sqrt{5}}{2}(KTM) \end{cases}\)
\(\text{Vậy tập nghiệm của phương trình là: }S=\text{{-1;\dfrac{5+3\sqrt5}{2}}}\)