Question

Với x;y;z> 0 thoả mãn hệ thức \(x+y+z=18\sqrt{2}\)

Chứng minh rằng : \(\frac{1}{\sqrt{x\left(y+z\right)}}+\frac{1}{\sqrt{y\left(z+x\right)}}+\frac{1}{\sqrt{z\left(x+y\right)}}\ge\frac{1}{4}\)

Answer 1

Côsi: \(\sqrt{x\left(y+z\right)}=\frac{1}{2\sqrt{2}}.2.\sqrt{2x}.\sqrt{y+z}\le\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(2x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{x\left(y+z\right)}}\ge\frac{2\sqrt{2}}{2x+y+z}\)

Tương tự các cái kia.

\(\Rightarrow VT\ge2\sqrt{2}\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+z+x}+\frac{1}{2z+x+y}\right)\)

\(\ge2\sqrt{2}.\frac{9}{2x+y+z+2y+z+x+2z+x+y}=\frac{18\sqrt{2}}{4\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{4}\)

Answer 2

\(\sum\frac{1}{\sqrt{x\left(y+z\right)}}=\sum\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2x}.\sqrt{y+z}}\ge\sum\frac{2\sqrt{2}}{2x+y+z}\ge2\sqrt{2}.\frac{9}{\sum\left(2x+y+z\right)}=\frac{18\sqrt{2}}{4\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{4}\)

Answer 3

P=
x(y+z)
​

1
​
+
y(z+x)
​

1
​
+
z(x+y)
​

1
​
≥
4
1
​ Để chứng minh bất đẳng thức \(P = \frac{1}{x \left(\right. y + z \left.\right)} + \frac{1}{y \left(\right. z + x \left.\right)} + \frac{1}{z \left(\right. x + y \left.\right)} \geq \frac{4}{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\), ta sẽ sử dụng một số biến đổi và bất đẳng thức quen thuộc. Ta có: \(P = \frac{1}{x \left(\right. y + z \left.\right)} + \frac{1}{y \left(\right. z + x \left.\right)} + \frac{1}{z \left(\right. x + y \left.\right)}\) Đặt \(a = x \left(\right. y + z \left.\right) , b = y \left(\right. z + x \left.\right) , c = z \left(\right. x + y \left.\right)\). Khi đó, ta cần chứng minh: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{4}{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{\left(\right. 1 + 1 + 1 \left.\right)^{2}}{a + b + c} = \frac{9}{a + b + c}\) Vậy ta cần chứng minh: \(\frac{9}{a + b + c} \geq \frac{4}{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\) Hay: \(9 \left(\right. x^{2} + y^{2} + z^{2} \left.\right) \geq 4 \left(\right. a + b + c \left.\right)\) Thay \(a , b , c\) vào, ta có: \(9 \left(\right. x^{2} + y^{2} + z^{2} \left.\right) \geq 4 \left[\right. x \left(\right. y + z \left.\right) + y \left(\right. z + x \left.\right) + z \left(\right. x + y \left.\right) \left]\right.\) \(9 \left(\right. x^{2} + y^{2} + z^{2} \left.\right) \geq 4 \left(\right. x y + x z + y z + y z + y x + z x \left.\right)\) \(9 \left(\right. x^{2} + y^{2} + z^{2} \left.\right) \geq 8 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right)\) Ta có bất đẳng thức sau: \(x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq x y + y z + z x\) Do đó: \(9 \left(\right. x^{2} + y^{2} + z^{2} \left.\right) - 8 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right) = \left(\right. x^{2} + y^{2} + z^{2} \left.\right) + 8 \left(\right. x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x \left.\right) \geq 0\) Vì \(x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq x y + y z + z x\) nên \(x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x \geq 0\). Vậy bất đẳng thức \(9 \left(\right. x^{2} + y^{2} + z^{2} \left.\right) \geq 8 \left(\right. x y + y z + z x \left.\right)\) luôn đúng. Kết luận: Bất đẳng thức \(P = \frac{1}{x \left(\right. y + z \left.\right)} + \frac{1}{y \left(\right. z + x \left.\right)} + \frac{1}{z \left(\right. x + y \left.\right)} \geq \frac{4}{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\) được chứng minh.