Lời giải:
Để \(A_n=20^n+16^n-3^n-1\vdots 323\)
\(\Leftrightarrow A_n\vdots 17 \) và \(A_n\vdots 19\)
------------------------------
Ta có: \(A_n=(20^n-3^n)+(16^n-1)\)
\(20^n-3^n=(20-3)(20^{n-1}+20^{n-2}.3+...+3^n)\vdots 17\)
TH1: $n$ lẻ:
\(16^n-1=16^n+1^n-2=(16+1)(16^{n-1}+...+1)-2\)
\(=17(16^{n-1}+...+1)-2\not\vdots 17\) do \(2\not\vdots 17\)
Khi đó \(A_n=(20^n-3^n)+(16^n-1)\not\vdots 17\) (loại)
TH2: $n$ chẵn.
\(16^n-1=16^{2k}-1^{2k}=(16^2-1)[(16^2)^{k-1}+...+1]=(16-1)(16+1)[(16^2)^{k-1}+...+1]\)
\(\Rightarrow 16^n-1\vdots 17\). Khi đó \(A_n=(20^n-3^n)+(16^n-1)\vdots 17\)
Mặt khác: \(A_n=(20^n-1)+(16^n-3^n)\)
\(20^n-1=20^n-1^n=(20-1)(20^{n-1}+...+1)\vdots 19\)
\(16^n-3^n=16^{2k}-3^{2k}=(16^2-3^2)[(16^2)^{k-1}+...+(3^2)^{k-1}]\vdots 16^2-3^2\vdots 19\)
\(\Rightarrow A=20^n-1+16^n-3^n\vdots 19\)
Vậy với $n$ chẵn thì $A_n$ vừa chia hết cho $17$ vừa chia hết cho $19$
Hay $A_n$ chia hết cho $323$
Vậy số $n$ là thỏa mãn là tập hợp các số nguyên dương chẵn.
