Question

Với n là số tự nhiên chẵn, chứng minh :(20ⁿ + 16ⁿ - 3ⁿ - 1) chia hết cho 323.

Answer 1

Ta có: 323=17.19 và 20ⁿ+16ⁿ-3ⁿ-1

(20ⁿ-10)+(16^n-3ⁿ) chia hết ho 19  (1)

( vì 20ⁿ-1 chia hết cho 20-1=19) và 16ⁿ-3ⁿ chia hết cho 19 vì n chẵn

Vậy 20ⁿ+16ⁿ-3ⁿ-1 = ( 20ⁿ-3ⁿ)+(16ⁿ-1) chia hết cho 17  (2)

Từ (1) và (2) và ƯCLN(17, 19)=1 suy ra :

(20ⁿ+16ⁿ-3ⁿ-1) chia hết cho 323

Answer 2

Ta thấy :

 323=17.19 và (17;19)=1 nên ta cần chứng minh 

\(20^n-1+16^n-3^n⋮17\) và \(19\)

Ta có : \(20^n-1⋮\left(20-1\right)=19\) ;    \(16^n-3^n⋮\left(16+3\right)=19\)( vì n chẵn )                              (1)Mặt khác :\(20^n+16^n-3^n-1=20^n-3^n+16^n-1\) và  \(20^n-3^n⋮\left(20-3\right)=17\) ; \(16^n-1⋮\left(16+1\right)=17\)( 2 )Từ ( 1 ) và (2 ) \(\Rightarrow20^n+16^n-3^n-1⋮323\)