Bài 3
a) Do BD là đường phân giác của ∆ABC (gt)
⇒ ∠ABD = ∠CBD
⇒ ∠ABE = ∠KBE
Xét hai tam giác vuông: ∆ABE và ∆KBE có:
BE là cạnh chung
∠ABE = ∠KBE (cmt)
⇒ ∆ABE = ∆KBE (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)
⇒ AB = KB (hai cạnh tương ứng)
⇒ ∆BAK cân tại B
b) Do ∆ABC vuông tại A (gt)
⇒ ∠BAC = 90⁰
⇒ ∠BAD = 90⁰
Do ∠ABE = ∠KBE (cmt)
⇒ ∠ABD = ∠KBD
Xét ∆ABD và ∆KBD có:
AB = KB (cmt)
∠ABD = ∠KBD (cmt)
BD là cạnh chung
⇒ ∆ABD = ∆KBD (c-g-c)
⇒ DA = DK (hai cạnh tương ứng)
Và ∠BAD = ∠BKD (hai góc tương ứng)
Mà ∠BAD = 90⁰ (cmt)
⇒ ∠BKD = 90⁰
⇒ DK ⊥ BC
c) Do AH // DK (gt)
⇒ ∠HAK = ∠AKD (so le trong)
Do DA = DK (cmt)
⇒ ∆DAK cân tại D
⇒ ∠DAK = ∠AKD
Mà ∠AKD = ∠HAK (cmt)
⇒ ∠DAK = ∠HAK
⇒ ∠CAK = ∠HAK
⇒ AK là tia phân giác của ∠HAC
d) Do AH // DK (gt)
Mà DK ⊥ BC (cmt)
⇒ AH ⊥ BC
⇒ AH ⊥ BK
⇒ AH là đường cao thứ nhất của ∆ABK
Do AE ⊥ BD (gt)
⇒ AK ⊥ BE
⇒ BE là đường cao thứ hai của ∆ADK
Mà AH cắt BE tại I
⇒ KI là đường cao thứ ba của ∆ADK
⇒ KI ⊥ AB
