Bài 1:
a: Xét ΔADB và ΔADC có
AD chung
\(\hat{DAB}=\hat{DAC}\)
AB=AC
Do đó: ΔADB=ΔADC
=>\(\hat{ADB}=\hat{ADC}\)
mà \(\hat{ADB}+\hat{ADC}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{ADB}=\hat{ADC}=\frac{180^0}{2}=90^0\)
=>AD⊥BC tại D
Xét ΔABC có
AD,BE là các đường cao
AD cắt BE tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>CH⊥AB
b: Ta có; CH⊥AB
=>CH⊥AB tại F
ΔADB=ΔADC
=>\(\hat{DAB}=\hat{DAC}\)
Xét ΔAFH vuông tại F và ΔAEH vuông tại E có
AH chung
\(\hat{FAH}=\hat{EAH}\)
Do đó: ΔAFH=ΔAEH
=>AF=AE và HF=HE
AF=AE nên A nằm trên đường trung trực của FE(1)
HF=HE nên H nằm trên đường trung trực của FE(2)
Từ (1),(2) suy ra AH là đường trung trực của EF
Bài 2:
a: Xét ΔMIN vuông tại I và ΔMIP vuông tại I có
MN=MP
MI chung
Do đó: ΔMIN=ΔMIP
=>IN=IP
=>I là trung điểm của NP
b: ta có: NA=NI
NI=IP
Do đó: NA=NI=IP
mà NA+NI+IP=NP
nên \(NA=NI=IP=\frac{AP}{3}\)
=>\(AI=AN+NI=\frac{AP}{3}+\frac{AP}{3}=\frac23\cdot AP\)
Xét ΔMAB có
AP là đường trung tuyến
AI=2/3AP
Do đó: I là trọng tâm của ΔMAB
=>BI cắt MA tại trung điểm K của MA
=>BI=2IK(1)
ΔMIA vuông tại I
mà IK là đường trung tuyến
nên MA=2IK(2)
Từ (1),(2) suy ra BI=MA
c: Xét ΔMAB có
I là trọng tâm
C là trung điểm của AB
Do đó: M,I,C thẳng hàng
