Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn , O kẻ các tiếp tuyến , AB AC với đường tròn (, B C là các tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy điểm D sao cho , CD BD tia AD cắt đường tròn O tại điểm thứ hai là . E Gọi I là trung điểm của DE và K là giao điểm của BC và . DE 1) Chứng minh ABOI là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh OIB OAC và . . . AK AI AD AE 3) Qua D kẻ đường thẳng song song với , AB đường thẳng này cắt BC tại điểm . MTừ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn , O kẻ các tiếp tuyến , AB AC với đường tròn (, B C là các tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy điểm D sao cho , CD BD tia AD cắt đường tròn O tại điểm thứ hai là . E Gọi I là trung điểm của DE và K là giao điểm của BC và . DE 1) Chứng minh ABOI là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh OIB OAC và . . . AK AI AD AE 3) Qua D kẻ đường thẳng song song với , AB đường thẳng này cắt BC tại điểm . M
1: Ta có: ΔODE cân tại O
mà OI là đường trung tuyến
nên OI⊥DE tại I
Xét tứ giác OBAI có \(\hat{OBA}+\hat{OIA}=90^0+90^0=180^0\)
nên OBAI là tứ giác nội tiếp
2: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC và AO là phân giác của góc BAC
Ta có: \(\hat{OIB}=\hat{OAB}\) (OBAI nội tiếp)
\(\hat{OAB}=\hat{OAC}\) (AO là phân giác của góc BAC)
Do đó; \(\hat{OIB}=\hat{OAC}\)
Ta có: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra AO là đường trung trực của BC
=>AO⊥BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét ΔAHK vuông tại H và ΔAIO vuông tại I có
\(\hat{HAK}\) chung
Do đó: ΔAHK~ΔAIO
=>\(\frac{AH}{AI}=\frac{AK}{AO}\)
=>\(AK\cdot AI=AH\cdot AO\left(3\right)\)
Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(4\right)\)
Xét (O) có
\(\hat{ABD}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BD
\(\hat{BED}\) là góc nội tiếp chắn cung BD
Do đó; \(\hat{ABD}=\hat{BED}\)
Xét ΔABD và ΔAEB có
\(\hat{ABD}=\hat{AEB}\)
\(\hat{BAD}\) chung
Do đó: ΔABD~ΔAEB
=>\(\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}\)
=>\(AD\cdot AE=AB^2\left(5\right)\)
Từ (3),(4),(5) suy ra \(AK\cdot AI=AD\cdot AE\)
