Question

Tứ giác ABCD có AB ⊥ CD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của BC, BD, AD, AC. Chứng minh rằng EG = FH.

Answer 1

Xét ΔBDC có

F,E lần lượt là trung điểm của BD,BC

=>FE là đường trung bình của ΔBDC
=>FE//DC và \(FE=\dfrac{1}{2}DC\left(1\right)\)

Xét ΔADC có

G,H lần lượt là trung điểm của AD,AC

=>GH là đường trung bình của ΔADC

=>GH//DC và \(GH=\dfrac{1}{2}DC\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra FE//GH và FE=GH

Xét ΔABD có

G,F lần lượt là trung điểm của DA,DB

=>GF là đường trung bình của ΔABD

=>GF//AB

mà AB\(\perp\)CD
nên GF\(\perp\)CD

mà FE//CD

nên FE\(\perp\)GF

Xét tứ giác EFGH có

EF//GH

EF=GH

Do đó: EFGH là hình bình hành

Hình bình hành EFGH có \(\widehat{EFG}=90^0\)

nên EFGH là hình chữ nhật

=>EG=FH