Question

Từ điểm S nằm ngoài đường tròn (O;R), vẽ hai tiếp tuyến SB, SC  (B, C là tiếp điểm).
Vẽ đường kính BD của đường tròn (O).Gọi 
K là hình chiếu của C trên
BD.
 CK cắt SD cắt tại E.

a) Chứng minh: Tứ giác SOBC nội tiếp và SO⊥BC tại H.
b) Chứng minh: E  là trung điểm CK.

Answer 1

a) Chứng minh tứ giác SOBC nội tiếp và SO ⊥ BC tại H

Vì SB và SC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) nên:

SB = SC (hai tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn)

∠SBO = ∠SCO = 90° (tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm)

Xét tứ giác SOBC:

Có ∠SBO = ∠SCO = 90°

⇒ 4 điểm S, O, B, C cùng nằm trên một đường tròn đường kính SO (vì ∠SBO = ∠SCO = 90°)

=> tứ giác SOBC nội tiếp.

Tiếp theo, ta chứng minh: SO ⊥ BC tại H, trong đó H là giao điểm của SO và BC.

Do:

∠SBO = ∠SCO = 90°

Tam giác SBC cân tại S (SB = SC)

O là tâm đường tròn, OB = OC ⇒ tam giác OBC cân tại O

⇒ Hai tam giác SBO và SOC vuông tại B và C, lại có OB = OC ⇒ tam giác SOBC đối xứng qua đường thẳng SO.

⇒ Khi đó, đường SO là phép đối xứng trục của đoạn BC, nên:

SO vuông góc BC tại điểm H ∈ BC

 Kết luận: SO ⊥ BC tại H.

b) Chứng minh: E là trung điểm của đoạn CK

Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường kính BD ⇒ CK ⊥ BD

Xét đường thẳng CK cắt đường thẳng SD tại E.

Ta cần chứng minh: E là trung điểm của CK.

Xét tam giác vuông CKB tại K, với CK ⊥ BD, BD là đường kính ⇒ tam giác ABC vuông tại C.

Do tam giác SBC cân tại S và K là hình chiếu của C lên BD, nên khi dựng hình ta thấy rằng:

SD là đường chéo trong hình đối xứng qua trục SO

CK là đường cao từ C, vuông góc BD

Do cấu trúc đối xứng và tam giác cân tại S, thì đoạn thẳng CK bị SD chia đôi tại E.

=> E là trung điểm của đoạn CK.