Question

Từ điểm `A` nằm ngoài đường tròn `(O)`, kẻ các tiếp tuyến `AB, AC` với đường tròn. Kẻ dây `CD` song song với `AB.E` là giao của `AD` với đường tròn ,`M` là giao của `AB` với `CE`. Chứng minh `M` là trung điểm `AB`

Answer 1

Xét (O) có

\(\hat{MBE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BM và dây cung BE

\(\hat{BCE}\) là góc nội tiếp chắn cung BE

Do đó: \(\hat{MBE}=\hat{BCE}=\hat{MCB}\)

Xét (O) có

\(\hat{ECA}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến CA và dây cung CE

\(\hat{CDE}\) là góc nội tiếp chắn cung CE

Do đó: \(\hat{ECA}=\hat{CDE}\)

mà \(\hat{CDE}=\hat{EAM}\) (hai góc so le trong, CD//AB)

nên \(\hat{MAE}=\hat{MCA}\)

Xét ΔMBE và ΔMCB có

\(\hat{MBE}=\hat{MCB}\)

góc BME chung

Do đó: ΔMBE~ΔMCB

=>\(\frac{MB}{MC}=\frac{ME}{MB}\)

=>\(MC\cdot ME=MB^2\left(1\right)\)

Xét ΔMAE và ΔMCA có

\(\hat{MAE}=\hat{MCA}\)

góc AME chung

Do đó: ΔMAE~ΔMCA

=>\(\frac{MA}{MC}=\frac{ME}{MA}\)

=>\(MC\cdot ME=MA^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra MA=MB

=>M là trung điểm của AB

Answer 2

Xét `\Delta MBE` và `\Delta MCB` có: `\hat{BME}=\hat{CMB}` `\hat{MBE}=\hat{MCB}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{BE}` `=>\Delta MBE`$\backsim$`\Delta MCB` (g-g) `=>{MB}/{MC}={ME}/{MB}` `=>MB^2=ME.MC` `(1)` $\\$ Vì `CD`//$AB$ (gt) `=>\hat{MAE}=\hat{CDE}` (hai góc so le trong) Mà `\hat{CDE}=\hat{MCA}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{CE}` `=>\hat{MAE}=\hat{MCA}` $\\$ Xét `\Delta MAE` và `\Delta MCA` có: `\hat{AME}=\hat{CMA}` `\hat{MAE}=\hat{MCA}` (c/m trên) `=>\Delta MAE`$\backsim$`\Delta MCA` (g-g) `=>{MA}/{MC}={ME}/{MA}` `=>MA^2=ME.MC` `(2)` Từ `(1);(2)=>MA=MB` `=>M` là trung điểm `AB` (đpcm)