Gọi \(I\left(a;b\right)\) là tâm đường tròn \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AI}=\left(a+1;b\right)\\\overrightarrow{BI}=\left(a;b-3\right)\\\overrightarrow{CI}=\left(a-3;b\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}IA^2=\left(a+1\right)^2+b^2\\IB^2=a^2+\left(b-3\right)^2\\IC^2=\left(a-3\right)^2+b^2\end{matrix}\right.\)
I là tâm đường tròn \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}IA^2=IB^2\\IA^2=IC^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+1\right)^2+b^2=a^2+\left(b-3\right)^2\\\left(a+1\right)^2+b^2=\left(a-3\right)^2+b^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+3b=4\\8a=8\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=b=1\Rightarrow I\left(1;1\right)\)
\(\Rightarrow R=IA=\sqrt{5}\)
Phương trình: \(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=5\)
Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔABC có dạng là \(x^2+y^2+2ax+2by+c=0\)(1)
Thay x=-1 và y=0 vào (1), ta được:
\(\left(-1\right)^2+0^2+2a\cdot\left(-1\right)+2b\cdot0+c=0\)
=>-2a+c+1=0
=>-2a+c=-1
=>2a-c=1(2)
Thay x=0 và y=3 vào (1), ta được:
\(0^2+3^2+2\cdot a\cdot0+2b\cdot3+c=0\)
=>6b+c=-9(3)
Thay x=3 và y=0 vào (1), ta được:
\(3^2+0^2+2a\cdot3+2b\cdot0+c=0\)
=>6a+c=-9(4)
Từ (2),(3),(4) ta có hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}2a-c=1\\6b+c=-9\\6a+c=-9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a+6b=-8\\8a=-8\\2a-c=1\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=-1\\c=2a-1=2\cdot\left(-1\right)-1=-3\\a+3b=-4\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=-1\\c=-3\\3b=-4-a=-4-\left(-1\right)=-4+1=-3\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=-1\\c=-3\\b=-1\end{matrix}\right.\)
Vậy: phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔABC là \(x^2+y^2-2x-2y-3=0\)
