Câu hỏi của Nguyễn Quốc Đạt

Question

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí A(3,5; – 2; 0,4) và sẽ hạ cánh ở vị trí B(3,5; 5,5; 0) trên đường băng EG (Hình 37).a) Viết phươ...

Nguyễn Quốc Đạt · Accepted Answer

a) Đường thẳng AB đi qua điểm $A\left( {3,5; - 2;0,4} \right)$ và nhận $\overrightarrow {AB}  = \left( {0;7,5; - 0,4} \right)$ làm một vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của đường thẳng AB là:$\left\{ \begin{array}{l}x = 3,5\y =  - 2 + 7,5t\z = 0,4 - 0,4t\end{array} \right.$ (t là tham số).b) Mặt phẳng (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)$.Do đó, $\sin \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {0.0 + 7,5.0 + \left( { - 0,4} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 7,5} \right)}^2} + {{\left( { - 0,4} \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{4\sqrt {5641} }}{{5641}}$ nên $\left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) \approx {3^o}$. Do đó, góc trượt nằm trong phạm vi cho phép.c) Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ là mặt phẳng (MNP).Ta có: $\overrightarrow {MN}  = \left( { - 5; - 5;0} \right),\overrightarrow {MP}  = \left( { - 5;0;0,5} \right)$Ta có: $\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5}&0\0&{0,5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 5}\{0,5}&{ - 5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5}&{ - 5}\{ - 5}&0\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 2,5;2,5; - 25} \right)$Mặt phẳng (MNP) nhận $\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( { - 2,5;2,5; - 25} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.Do đó, phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ là:$ - 2,5\left( {x - 5} \right) + 2,5\left( {y - 0} \right) - 25\left( {z - 0} \right) \Leftrightarrow x - y + 10z - 5 = 0$Vì C là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mấy để hạ cánh nên C là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$.Vì C thuộc AB nên $C\left( {3,5; - 2 + 7,5t;0,4 - 0,4t} \right)$. Mà C thuộc mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ nên:$3,5 - \left( { - 2 + 7,5t} \right) + 10\left( {0,4 - 0,4t} \right) - 5 = 0$, suy ra $t = \frac{9}{{23}}$. Do đó, $C\left( {\frac{7}{2};\frac{{43}}{{46}};\frac{{28}}{{115}}} \right)$.d) Vì D thuộc AB nên $D\left( {3,5; - 2 + 7,5t';0,4 - 0,4t'} \right)$D là vị trí mà máy bay ở độ cao 120m, tức là khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 120m và bằng 0,12km.Ta có: $d\left( {D,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {0,4 - 0,4t'} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \left| {0,4 - 0,4t'} \right|$Do đó, $\left| {0,4 - 0,4t'} \right| = 0,12 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0,4 - 0,4t' = 0,12\0,4 - 0,4t' =  - 0,12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t' = 0,7\t' = 1,3\end{array} \right.$Với $t' = 0,7$ ta có $D\left( {3,5;3,25;0,12} \right)$.Với $t' = 1,3$ ta có $D\left( {3,5;7,75; - 0,12} \right)$.Vì D là vị trí độ cao của máy bay nên $D\left( {3,5;3,25;0,12} \right)$.e) Ta có: $DE = \sqrt {{{\left( {3,5 - 3,5} \right)}^2} + {{\left( {4,5 - 3,25} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0,12} \right)}^2}}  \approx 1,256\left( {km} \right)$Vì tầm nhìn xa của phi công sau khi ra khỏi đám mây là $900m = 0,9km < 1,256km$ nên người phi công đó không đạt được quy định an toàn bay.Câu trả lời: a) Đường thẳng AB đi qua điểm $A\left( {3,5; - 2;0,4} \right)$ và nhận $\overrightarrow {AB}  = \left( {0;7,5; - 0,4} \right)$ làm một vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của đường thẳng AB là:$\left\{ \begin{array}{l}x = 3,5\y =  - 2 + 7,5t\z = 0,4 - 0,4t\end{array} \right.$ (t là tham số).b) Mặt phẳng (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)$.Do đó, $\sin \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {0.0 + 7,5.0 + \left( { - 0,4} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 7,5} \right)}^2} + {{\left( { - 0,4} \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{4\sqrt {5641} }}{{5641}}$ nên $\left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) \approx {3^o}$. Do đó, góc trượt nằm trong phạm vi cho phép.c) Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ là mặt phẳng (MNP).Ta có: $\overrightarrow {MN}  = \left( { - 5; - 5;0} \right),\overrightarrow {MP}  = \left( { - 5;0;0,5} \right)$Ta có: $\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5}&0\0&{0,5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 5}\{0,5}&{ - 5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5}&{ - 5}\{ - 5}&0\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 2,5;2,5; - 25} \right)$Mặt phẳng (MNP) nhận $\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( { - 2,5;2,5; - 25} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.Do đó, phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ là:$ - 2,5\left( {x - 5} \right) + 2,5\left( {y - 0} \right) - 25\left( {z - 0} \right) \Leftrightarrow x - y + 10z - 5 = 0$Vì C là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mấy để hạ cánh nên C là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$.Vì C thuộc AB nên $C\left( {3,5; - 2 + 7,5t;0,4 - 0,4t} \right)$. Mà C thuộc mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ nên:$3,5 - \left( { - 2 + 7,5t} \right) + 10\left( {0,4 - 0,4t} \right) - 5 = 0$, suy ra $t = \frac{9}{{23}}$. Do đó, $C\left( {\frac{7}{2};\frac{{43}}{{46}};\frac{{28}}{{115}}} \right)$.d) Vì D thuộc AB nên $D\left( {3,5; - 2 + 7,5t';0,4 - 0,4t'} \right)$D là vị trí mà máy bay ở độ cao 120m, tức là khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 120m và bằng 0,12km.Ta có: $d\left( {D,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {0,4 - 0,4t'} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \left| {0,4 - 0,4t'} \right|$Do đó, $\left| {0,4 - 0,4t'} \right| = 0,12 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0,4 - 0,4t' = 0,12\0,4 - 0,4t' =  - 0,12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t' = 0,7\t' = 1,3\end{array} \right.$Với $t' = 0,7$ ta có $D\left( {3,5;3,25;0,12} \right)$.Với $t' = 1,3$ ta có $D\left( {3,5;7,75; - 0,12} \right)$.Vì D là vị trí độ cao của máy bay nên $D\left( {3,5;3,25;0,12} \right)$.e) Ta có: $DE = \sqrt {{{\left( {3,5 - 3,5} \right)}^2} + {{\left( {4,5 - 3,25} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0,12} \right)}^2}}  \approx 1,256\left( {km} \right)$Vì tầm nhìn xa của phi công sau khi ra khỏi đám mây là $900m = 0,9km < 1,256km$ nên người phi công đó không đạt được quy định an toàn bay.

Bài 2: Phương trình đường thẳng

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Đề thi đánh giá năng lực