Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: (α): 5x + 2y – 4z + 6 = 0 và (β): 10x + 4y – 2z + 12 = 0.
a) Hỏi (α) và (β) có song song với nhau hay không?
b) Chứng minh rằng điểm M(1; −3; 5) không thuộc mặt phẳng (α) nhưng thuộc mặt phẳng (β).
c) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1; −3; 5) và song song với (α).
a) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {5;2; - 4} \right)\), mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {10;4; - 2} \right)\).
Vì \(\frac{5}{{10}} = \frac{4}{2} \ne \frac{{ - 4}}{2}\) nên \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \) và \(\overrightarrow {{n_\beta }} \) không cùng phương. Do đó, hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) không song song với nhau.
b) Vì \(5.1 - 3.2 - 4.5 + 6 = 5 - 6 - 20 + 6 = - 15 \ne 0\) nên điểm \(M\left( {1; - 3;5} \right)\) không thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Vì \(10.1 + 4.\left( { - 3} \right) - 2.5 + 12 = 0\) nên điểm \(M\left( {1; - 3;5} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( \beta \right)\).
c) Vì mặt phẳng (P) song song với \(\left( \alpha \right)\) nên mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {5;2; - 4} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến. Mà điểm \(M\left( {1; - 3;5} \right)\) thuộc (P) nên phương trình mặt phẳng (P) là:
\(5\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y + 3} \right) - 4\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x + 2y - 4z + 21 = 0\)