Bài 4: Vi phân

Ngọc Lan Đinh

Tính phương trình sai phân

y(n+2) +2y(n+1) +4y(n)=3n-4

Tính phương trình vi phân

(y2-2)dx=(y+x2y)dy

Nguyễn Việt Lâm
11 tháng 6 2020 lúc 17:35

1.

\(y_{n+2}+2y_{n+1}+4y_n=3n-4\)

Xét phương trình thuần nhất: \(y_{n+2}+2y_{n+1}+4y_n=0\)

Pt đặc trưng: \(\lambda^2+2\lambda+4=0\Rightarrow\lambda_{1,2}=2\left(cos\frac{2\pi}{3}\pm sin\frac{2\pi}{3}\right)\)

\(\Rightarrow\) Nghiệm của pt thuần nhất có dạng:

\(\overline{y_n}=2^n\left(c_1.cos\frac{2n\pi}{3}+c_2.sin\frac{2n\pi}{3}\right)\)

Tìm nghiệm riêng có dạng: \(y_n^0=an+b\)

Thay vào pt:

\(a\left(n+2\right)+b+2\left[a\left(n+1\right)+b\right]+4\left[an+b\right]=3n-4\)

\(\Leftrightarrow7an+4a+7b=3n-4\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}7a=3\\4a+7b=-4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{3}{7}\\b=-\frac{40}{49}\end{matrix}\right.\)

Nghiệm riêng có dạng: \(y_n^0=\frac{3}{7}n-\frac{40}{49}\)

Nghiệm tổng quát: \(y_n=2^n\left(c_1.cos\frac{2n\pi}{3}+c_2.sin\frac{2n\pi}{3}\right)+\frac{3}{7}n-\frac{40}{49}\)

2.

\(\left(y^2-2\right)dx=y\left(x^2+1\right)dy\)

\(\Leftrightarrow\frac{y}{y^2-2}dy-\frac{1}{x^2+1}dx=0\)

Lấy tích phân 2 vế:

\(\Rightarrow\int\frac{y}{y^2-2}dy-\int\frac{1}{x^2+1}dx=C\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}ln\left|y^2-2\right|-arctanx=C\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Ngọc Lan Đinh
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Tuấn Đỗ
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết