Violympic toán 9

Mai Diệu Linh

tính giá trị lớn nhất của P=\(\dfrac{3x-y-z}{4x}\)+\(\dfrac{3y-x-z}{4y}\)+\(\dfrac{3z-x-y}{4z}\)

Akai Haruma
23 tháng 9 2017 lúc 11:49

Lời giải:

Biến đổi: \(P=\frac{3}{4}-\frac{y+z}{4x}+\frac{3}{4}-\frac{x+z}{4y}+\frac{3}{4}-\frac{x+y}{4z}\)

\(\Leftrightarrow P=\frac{9}{4}-\frac{1}{4}\underbrace{\left(\frac{x+y}{z}+\frac{x+z}{y}+\frac{z+y}{x}\right)}_{M}\)

Xét M

Áp dụng BĐT Am-Gm: \(M\geq 3\sqrt[3]{\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}}\)

Tiếp tục Am-Gm: \((x+y)(y+z)(z+x)\geq 2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=8xyz\)

\(\Rightarrow M\geq 3\sqrt[3]{8}=6\)

Do đó \(P=\frac{9}{4}-\frac{M}{4}\leq \frac{9}{4}-\frac{6}{4}\Leftrightarrow M\leq \frac{3}{4}\)

Vậy \(P_{\max}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow x=y=z\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
em ơi
Xem chi tiết
Shrimp Ngáo
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết
Hoai Bao Tran
Xem chi tiết
Vo Thi Minh Dao
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Ngà
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết
Hày Cưi
Xem chi tiết