- Với \(x=0\Rightarrow y=4\)
- Với \(x=1\) không thỏa mãn
- Với \(x\ge2\):
Giả sử \(x\) lẻ \(\Rightarrow x=2k+1\)
\(\Rightarrow2^{2k+1}+15=y^2\Leftrightarrow2.4^k+15=y^2\)
Do 4 chia 3 dư 1 \(\Rightarrow2.4^k\) chia 3 dư 2
\(\Rightarrow VT\) chia 3 dư 2, mà vế phải là SCP ko thể chia 3 dư 2
\(\Rightarrow\) pt vô nghiệm \(\Rightarrow x\) chẵn \(\Rightarrow x=2k\)
\(2^{2k}+15=y^2\), do vế trái lẻ nên vế phải lẻ \(\Rightarrow y\) lẻ.
Ta có:
\(2^{2k}+15=y^2\Leftrightarrow y^2-\left(2^k\right)^2=15\Leftrightarrow\left(y-2^k\right)\left(y+2^k\right)=15\)
Do \(y+2^k>y-2^k>0\) nên ta có các TH sau:
\(\left\{{}\begin{matrix}y-2^k=1\\y+2^k=15\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y=8\) (ktm)
\(\left\{{}\begin{matrix}y-2^k=3\\y+2^k=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y=4\) (ktm)
Vậy pt có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(0;4\right)\)
