a.
Không mất tính tổng quát, giả sử \(x\ge y\)
\(z^z=x^x+y^y>x^x\)
Với \(x=1\Rightarrow y=1\Rightarrow z^z=2\) ko tồn tại z nguyên thỏa mãn
Với \(x\ge2\) ta có:
\(x^x+y^y\le2x^x\le x.x^x=x^{x+1}< \left(x+1\right)^{x+1}\)
\(\Rightarrow x^x< z^z< \left(x+1\right)^{x+1}\)
\(\Rightarrow\) Ko tồn tại z nguyên thỏa mãn theo nguyên lý kẹp
b.
\(2^{x^2}+2^{y^2}+16=\left(2^{x^2-1}+8\right)+\left(2^{y^2-1}+8\right)+\dfrac{1}{2}\left(2^{x^2}+2^{y^2}\right)\)
\(\ge2\sqrt{2^{x^2-1}.2^3}+2\sqrt{2^{y^2-1}.2^3}+\dfrac{1}{2}.2\sqrt{2^{x^2}.2^{y^2}}=2.2^{\dfrac{x^2+2}{2}}+2.2^{\dfrac{y^2+2}{2}}+2^{\dfrac{x^2+y^2}{2}}\)
\(=2^{\dfrac{x^2+4}{2}}+2^{\dfrac{y^2+4}{2}}+2^{\dfrac{x^2+y^2}{2}}\ge2^{\dfrac{4x}{2}}+2^{\dfrac{4y}{2}}+2^{xy}\)
\(=4^x+4^y+2^{xy}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=2\)
