Question

Tìm x thuộc Z để biểu thức sau có giá trị nguyên :

a, A = \(\frac{2\sqrt{x}+10}{\sqrt{x}-3}\)

b, B = \(\frac{\sqrt{x}+8}{2\sqrt{x}+1}\)

Answer 1

a) đk: \(x\ge0\)

Ta có: 

+ Nếu: x không là số chính phương => A vô tỉ (loại)

+ Nếu: x là số chính phương => \(\sqrt{x}\) nguyên

Ta có: \(A=\frac{2\sqrt{x}+10}{\sqrt{x}-3}=\frac{\left(2\sqrt{x}-6\right)+16}{\sqrt{x}-3}=2+\frac{16}{\sqrt{x}-3}\)

Để A nguyên => \(\frac{16}{\sqrt{x}-3}\inℤ\Rightarrow\sqrt{x}-3\inƯ\left(16\right)\)

Mà \(\sqrt{x}-3\ge-3\left(\forall x\right)\Rightarrow\sqrt{x}-3\in\left\{-2;-1;1;2;4;8;16\right\}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}\in\left\{1;2;4;5;7;12;20\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{1;4;16;25;49;144;400\right\}\)

Answer 2

b) đk: \(x\ge0\)

Ta có:

+ Nếu: x không là số chính phương => A vô tỉ (loại)

+ Nếu: x là số chính phương => \(\sqrt{x}\) nguyên

Ta có: \(B=\frac{\sqrt{x}+8}{2\sqrt{x}+1}\Rightarrow2B=\frac{2\sqrt{x}+16}{2\sqrt{x}+1}=1+\frac{15}{2\sqrt{x}+1}\)

Để 2B nguyên => \(\frac{15}{2\sqrt{x}+1}\inℤ\Rightarrow2\sqrt{x}+1\inƯ\left(15\right)\)

Mà 1 lẻ nên để B nguyên => \(\frac{15}{2\sqrt{x}+1}\) lẻ, mặt khác: \(2\sqrt{x}+1\ge1\left(\forall x\right)\)

=> \(2\sqrt{x}+1\in\left\{1;3;5;15\right\}\Leftrightarrow2\sqrt{x}\in\left\{0;2;4;14\right\}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{0;1;2;7\right\}\Rightarrow x\in\left\{0;1;4;49\right\}\)