Question

Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho  \(2n+2017\)và   \(n+2019\)đều là số chính phương

Answer 1

Có: 2n+2017=a^2 (1)        (a,b ∈N)

      n+2019=b^2  (2)   

Từ (1)⇒ a lẻ ⇒ a=2k+1 (k∈N)

 (1) trở thành 2n+2017=(2k+1)^2

                    ⇔ n+1008=2k(k+1)

Vì k(k+1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp ⇒ k(k+1) chia hết cho 2 

⇒ n+1008 chia hết cho 4 ⇒n chia hết cho 4 (vì 1008 chia hết cho 4)

Vì n chia hết cho 4 ⇒ b lẻ ⇒b=2h+1 (h∈N)

(2) trở thành n+2019=(2h+1)^2

                    ⇔n+2018=4(h^2+h) (3)

Có: n chia hết cho 4, 2018 không chia hết cho 4

⇒ n+2018 không chia hết cho 4

mà 4(h^2+h) chia hết cho 4

Nên (3) vô lý

Vậy không tồn tại n thỏa mãn