Question

tìm tất cả các số tự nhiên n để 2 mũ n cộng 15 là số chính phương?

Answer 1

Câu 1. Tìm n ∈ N sao cho 2^n + 15 là số chính phương

Giả sử 2^n + 15 = k^2 (k ∈ N)

Xét theo modulo 4:
Với n ≥ 2 thì 2^n chia hết cho 4 nên 2^n ≡ 0 mod 4
Suy ra 2^n + 15 ≡ 15 ≡ 3 mod 4

Nhưng số chính phương chỉ có thể ≡ 0 hoặc 1 mod 4 nên không thể ≡ 3 mod 4
Vậy với n ≥ 2 không có nghiệm

Xét các trường hợp nhỏ:
n = 0: 2^0 + 15 = 1 + 15 = 16 = 4^2
n = 1: 2^1 + 15 = 2 + 15 = 17 không phải số chính phương

Vậy chỉ có n = 0

Kết luận: n = 0, giải thích là dùng xét modulo để loại các trường hợp lớn, sau đó thử trực tiếp các giá trị nhỏ còn lại