Question

Tìm tất cả các số nguyên x,n thỏa mãn : \(2^n+8^2=x^2-4^2\)

Answer 1

x² -80 =2ⁿ >0 => x² >80 => |x| >\(\sqrt{80}\approx8=>\left|x\right|\ge9\)

xét |x|=9 => 2ⁿ =1 => n=0 (thỏa mãn)

xét |x| =10 => 2ⁿ =20( loại); 

Với |x| \(\ge11=>2^n\ge11^2-80=41=>n\ge6\)

2ⁿ +2⁶= (x-4)(x+4) <=> 64(2^n-6 +1)=x² -16

Vế trái chia hết cho 16 => vế phải cũng chia hết cho 16 => x² chia hết cho 16 => x=4k(k\(\in Z;\left|4k\right|\ge11< =>\left|k\right|\ge3\))

Thay vào ta được 64(2^n-6 +1)=16k² -16 <=> 4(2^n-6 +1) = (k-1)(k+1)

Vế trái là số chẵn => vế phải cũng chẵn => k lẻ => k = 2m +1 (m\(\in Z;\)|2m+1|\(\ge3\)). Thay vào ta được 4(2^n-6 +1) =4m(m+1)

<=> 2^n-6 +1 = m(m+1)

m(m+1) luôn chẵn => 2^n-6 +1 chẵn => 2^n-6 =1 => n=6 => x² = 80+ 2⁶ = 144 => |x| =12

vậy ta có các nghiệm (x;n)= (9; 0) ; (-9; 0) ; (12; 6) ; (-12; 6)