Lời giải:
Xét $p=2$ thấy thỏa mãn:
Xét $p>2$
Đặt $p^3-4p+9=a^2$ với $a$ là số tự nhiên.
$\Leftrightarrow p(p^2-4)=a^2-9=(a-3)(a+3)(*)$
$p>2$ nên $p$ lẻ, suy ra $a^2-9$ lẻ, suy ra $a$ chẵn.
$p>2$ nên $(a-3)(a+3)>0$. Mà $a\in\mathbb{N}$ nên $a>3$.
Lại có: $(a-3)(a+3)=p(p^2-4)\vdots p$. Đến đây ta xét các TH:
TH1: $a-3\vdots p$. Đặt $a-3=pk$ với $k\in\mathbb{N}^*$ thì thay vào $(*)$ ta có:
$p^2-pk^2-4-6k=0$
Coi đây là pt bậc 2 ẩn $p$. Điều kiện để pt có nghiệm nguyên là :
$\Delta=k^4+24k+16$ phải là một số chính phương. $kp=a-3$ lẻ do $a$ chẵn nên $k$ cũng là số lẻ. Do đó $k^4+24k+16$ là scp lẻ.
Bằng nguyên lý kẹp, ta dễ dàng có $(k^2)^2< k^4+24k+16\leq (k^2+6)^2$ với $k\in\mathbb{N}^*$
Mà $k^4+24k+16$ lẻ nên $k^4+24k+16$ có thể nhận các giá trị $(k^2+2)^2; (k^2+4)^2$
Thử 2 trường hợp trên tìm được $k=3$, kéo theo $p=11$
TH2: $a+3\vdots p$. Làm tương tự như trên ta có $p=7$
Vậy $p=7; p=2$ hoặc $p=11$
$\Rightarrow k=
