\(x^3+3x-5-y\left(x^2+2\right)=0\Rightarrow x^3+3x-5=y\left(x^2+2\right)\)
\(\Rightarrow y=\dfrac{x^3+3x-5}{x^2+2}=x+\dfrac{x-5}{x^2+2}\)
Để y nguyên \(\Rightarrow\dfrac{x-5}{x^2+2}\) nguyên với x nguyên
Đặt \(\dfrac{x-5}{x^2+2}=a\) với a nguyên \(\Rightarrow ax^2-x+2a+5=0\) (1)
=>(1) có nghiệm nguyên
Xét \(\Delta=1-4a\left(2a+5\right)=-8a^2-20a+1\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{-5-3\sqrt{3}}{4}\le a\le\dfrac{-5+3\sqrt{3}}{4}\Rightarrow a=-2;-1;0\)
\(a=-2\Rightarrow-2x^2-x+1=0\Rightarrow x=-1\Rightarrow y=\dfrac{x^3+3x-5}{x^2+2}=-3\)
\(a=-1\Rightarrow-x^2-x+3=0\) =>không có nghiệm nguyên
\(a=0\Rightarrow x-5=0\Rightarrow x=5\Rightarrow y=x+a=5\)
Vậy có 2 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình là (-2;-3) và (5;5)
