Violympic toán 9

Anh Khương Vũ Phương

Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn PT: \(x^4+y^3=xy^3+1\)

Akai Haruma
25 tháng 2 2018 lúc 13:00

Lời giải:

Ta có:

\(x^4+y^3=xy^3+1\)

\(\Leftrightarrow (x^4-1)+(y^3-xy^3)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)(x+1)(x^2+1)-y^3(x-1)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)[(x+1)(x^2+1)-y^3]=0\)

TH1: \(x-1=0\Leftrightarrow x=1\)

Thay vào PT ban đầu suy ra \(1+y^3=y^3+1\) (đúng với mọi số nguyên $y$)

TH2: \((x+1)(x^2+1)-y^3=0\)

\(\Leftrightarrow y^3=x^3+x^2+x+1\)

Ta thấy: \(x^2+x+1=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}>0\)

Suy ra \(y^3=x^3+x^2+x+1>x^3\)

Mặt khác xét

\((x+2)^3-(x^3+x^2+x+1)=5x^2+11x+7=5(x+\frac{11}{10})^2+\frac{19}{20}>0\)

\(\Rightarrow (x+2)^3>x^3+x^2+x+1\Leftrightarrow (x+2)^3> y^3\)

Do đó \((x+2)^3> y^3> x^3\Rightarrow \) theo nguyên lý kẹp thì \(y^3=(x+1)^3\)

\(\Leftrightarrow x^3+x^2+x+1=(x+1)^3\)

\(\Leftrightarrow 2x^2+2x=0\Leftrightarrow x=0; x=-1\)

Nếu \(x=0\Rightarrow y^3=1\Rightarrow y=1\)

Nếu \(x=-1\Rightarrow y^3=0\Leftrightarrow y=0\)

Vậy \((x,y)\in \left\{(1;y); (0; 1); (-1; 0)\right\}\)

Bình luận (1)

Các câu hỏi tương tự
Big City Boy
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Đại Số Và Giải Tích
Xem chi tiết
Minh Hiếu
Xem chi tiết
Vũ Đình Thái
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Trang Triệu
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết