Câu hỏi của Hieu Hoang

Question

tìm nghiệm nguyên của pt 6x2+19y2+24x-2y+12xy-725

vodiem · Accepted Answer

6x2+19y2+24x-2y+12xy-725=0$\Leftrightarrow6x^2+\left(12y+24\right)x-2y+19y^2-725=0$$\Leftrightarrow\Delta=\left(12y+24\right)^2-4.6.\left(-2y+19y^2-725\right)$$\Leftrightarrow144y^2+576y+576+48y-456y^2+17400$bữa sau sẽ trả lời tiếpCâu trả lời: 6x2+19y2+24x-2y+12xy-725=0$\Leftrightarrow6x^2+\left(12y+24\right)x-2y+19y^2-725=0$$\Leftrightarrow\Delta=\left(12y+24\right)^2-4.6.\left(-2y+19y^2-725\right)$$\Leftrightarrow144y^2+576y+576+48y-456y^2+17400$bữa sau sẽ trả lời tiếp

Lê Hoàng · Answer

Với $x,y\in Z$$6x^2+19y^2+24x-2y+12xy-725=0$$\Leftrightarrow6x^2+\left(12xy+24x\right)+19y^2-2y-725=0$$\Leftrightarrow6x^2+\left(12y+24\right)x+19y^2-2y-725=0$$\Leftrightarrow6x^2+2\left(6y+12\right)x+19y^2-2y-725=0$ $\left(a=6,b'=6y+12,c=19y^2-2y-725\right)$$\Delta'=\left(6y+12\right)^2-6\left(19y^2-2y-725\right)=36y^2+144y+144-114y^2+12y+4350$$\Delta'=-78y^2+156y+4494=-78\left(y^2-2y+1\right)+78+4494=-78\left(y-1\right)^2+4572$PT có nghiệm $\Leftrightarrow\Delta'\ge0\Leftrightarrow-78\left(y-1\right)^2+4572\ge0\Leftrightarrow-78\left(y-1\right)^2\ge-4572$$\Leftrightarrow\left(y-1\right)^2\le\frac{762}{13}$$\Leftrightarrow-\frac{\sqrt{9906}}{13}\le y-1\le\frac{\sqrt{9906}}{13}$, mà $y\in Z$ $\Rightarrow-7\le y-1\le7\left(1\right)$Với PT có nghiệm, ta có: $x=\frac{-b'\pm\sqrt{\Delta'}}{a}$$\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{-\left(12y+24\right)}{6}=-2y-4\x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{19y^2-2y-725}{6}=\frac{y^2-2y+1+18y^2-726}{6}=3y^2-121+\frac{\left(y-1\right)^2}{6}\end{cases}}$Để $x\in Z$, thì $\hept{\begin{cases}x_1+x_2\in Z\x_1x_2\in Z\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-2y-4\in Z\3y^2-121+\frac{\left(y-1\right)^2}{6}\in Z\end{cases}\Leftrightarrow}\frac{\left(y-1\right)^2}{6}\in Z$ (vì $y\in Z$)Và $\Delta'$ là số chính phương.* $\frac{\left(y-1\right)^2}{6}\in Z\Leftrightarrow\left(y-1\right)^2⋮6\Leftrightarrow y-1⋮6\left(2\right)$Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ $\Rightarrow y-1\in\left\{-6;0;6\right\}\Leftrightarrow y\in\left\{-5;1;7\right\}$* $\Delta'$ là số chính phương $\Leftrightarrow-78\left(y-1\right)^2+4572$ là số chính phương- Thử $y=-5$, thì $\Delta'=-78\left(-5-1\right)^2+4572=-2808+4572=1764$ (1764 là số chính phương)- Thử $y=1$, thì $\Delta'=-78\left(1-1\right)^2+4572=4572$ (4572 không phải là số chính phương)- Thử $y=7$, thì $\Delta'=-78\left(7-1\right)^2+4572=-2808+4572=1764$ (1764 là số chính phương)Từ đó, với $y\in\left\{-5;7\right\}$ thì $\Delta'=1764$ là số chính phương. $\Rightarrow\sqrt{\Delta'}=42$PT có nghiệm thì:$x=\frac{-b'\pm\sqrt{\Delta'}}{a}=\frac{-6y-12\pm42}{6}=-y-2\pm7$- Với $y=-5$, thì $x=5-2\pm7\Leftrightarrow x\in\left\{-4;10\right\}$ (tmđk)- Với $y=7$, thì $x=-7-2\pm7\Leftrightarrow x\in\left\{-16;-2\right\}$ (tmđk)Vậy phương trình có các nghiệm nguyên $\left(x;y\right)=\left(-4;-5\right),\left(10;-5\right),\left(-16;7\right),\left(-2;7\right)$.Câu trả lời: Với $x,y\in Z$$6x^2+19y^2+24x-2y+12xy-725=0$$\Leftrightarrow6x^2+\left(12xy+24x\right)+19y^2-2y-725=0$$\Leftrightarrow6x^2+\left(12y+24\right)x+19y^2-2y-725=0$$\Leftrightarrow6x^2+2\left(6y+12\right)x+19y^2-2y-725=0$ $\left(a=6,b'=6y+12,c=19y^2-2y-725\right)$$\Delta'=\left(6y+12\right)^2-6\left(19y^2-2y-725\right)=36y^2+144y+144-114y^2+12y+4350$$\Delta'=-78y^2+156y+4494=-78\left(y^2-2y+1\right)+78+4494=-78\left(y-1\right)^2+4572$PT có nghiệm $\Leftrightarrow\Delta'\ge0\Leftrightarrow-78\left(y-1\right)^2+4572\ge0\Leftrightarrow-78\left(y-1\right)^2\ge-4572$$\Leftrightarrow\left(y-1\right)^2\le\frac{762}{13}$$\Leftrightarrow-\frac{\sqrt{9906}}{13}\le y-1\le\frac{\sqrt{9906}}{13}$, mà $y\in Z$ $\Rightarrow-7\le y-1\le7\left(1\right)$Với PT có nghiệm, ta có: $x=\frac{-b'\pm\sqrt{\Delta'}}{a}$$\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{-\left(12y+24\right)}{6}=-2y-4\x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{19y^2-2y-725}{6}=\frac{y^2-2y+1+18y^2-726}{6}=3y^2-121+\frac{\left(y-1\right)^2}{6}\end{cases}}$Để $x\in Z$, thì $\hept{\begin{cases}x_1+x_2\in Z\x_1x_2\in Z\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-2y-4\in Z\3y^2-121+\frac{\left(y-1\right)^2}{6}\in Z\end{cases}\Leftrightarrow}\frac{\left(y-1\right)^2}{6}\in Z$ (vì $y\in Z$)Và $\Delta'$ là số chính phương.* $\frac{\left(y-1\right)^2}{6}\in Z\Leftrightarrow\left(y-1\right)^2⋮6\Leftrightarrow y-1⋮6\left(2\right)$Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ $\Rightarrow y-1\in\left\{-6;0;6\right\}\Leftrightarrow y\in\left\{-5;1;7\right\}$* $\Delta'$ là số chính phương $\Leftrightarrow-78\left(y-1\right)^2+4572$ là số chính phương- Thử $y=-5$, thì $\Delta'=-78\left(-5-1\right)^2+4572=-2808+4572=1764$ (1764 là số chính phương)- Thử $y=1$, thì $\Delta'=-78\left(1-1\right)^2+4572=4572$ (4572 không phải là số chính phương)- Thử $y=7$, thì $\Delta'=-78\left(7-1\right)^2+4572=-2808+4572=1764$ (1764 là số chính phương)Từ đó, với $y\in\left\{-5;7\right\}$ thì $\Delta'=1764$ là số chính phương. $\Rightarrow\sqrt{\Delta'}=42$PT có nghiệm thì:$x=\frac{-b'\pm\sqrt{\Delta'}}{a}=\frac{-6y-12\pm42}{6}=-y-2\pm7$- Với $y=-5$, thì $x=5-2\pm7\Leftrightarrow x\in\left\{-4;10\right\}$ (tmđk)- Với $y=7$, thì $x=-7-2\pm7\Leftrightarrow x\in\left\{-16;-2\right\}$ (tmđk)Vậy phương trình có các nghiệm nguyên $\left(x;y\right)=\left(-4;-5\right),\left(10;-5\right),\left(-16;7\right),\left(-2;7\right)$.

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)