Lời giải:
a)
$n^4+4=(n^2)^2+2^2+2.2n^2-4n^2=(n^2+2)^2-(2n)^2$
$=(n^2+2-2n)(n^2+2+2n)$
Để $n^4+4$ là số nguyên tố thì 1 trong 2 thừa số $n^2+2-2n, n^2+2+2n$ có giá trị bằng $1$, số còn lại là snt.
Vì $n^2+2-2n\leq n^2+2+2n$ với mọi $n\in\mathbb{N}$ nên $n^2+2-2n=1$
$\Leftrightarrow (n-1)^2=0\Leftrightarrow n=1$
Thay vào $n^4+4=5$ là snt (thỏa mãn)
Vậy..................
b) $n=0$ thì biểu thức không phải số nguyên tố
$n=1$ thì biểu thức là số nguyên tố (thỏa mãn)
$n\geq 2$
$n^{2021}+n^{2020}+1=(n^{2021}-n^2)+(n^{2020}-n)+n^2+n+1$
$=n^2(n^{2019}-1)+n(n^{2019}-1)+n^2+n+1$
$=(n^{2019}-1)(n^2+n)+n^2+n+1$
$=[(n^3)^{673}-1](n^2+n)+(n^2+n+1)$
$=(n^3-1).A(n^2+n)+(n^2+n+1)$
$=(n-1)(n^2+n+1)A(n^2+n)+(n^2+n+1)$
$=(n^2+n+1)[(n-1)A(n^2+n)+1]$
Với $n\geq 2$ thì $n^2+n+1>2$ và $(n-1)A(n^2+n)+1\geq 2$ nên biểu thức không thể là số nguyên tố.
Do đó $n=1$ là đáp án duy nhất.
Lời giải:
a)
$n^4+4=(n^2)^2+2^2+2.2n^2-4n^2=(n^2+2)^2-(2n)^2$
$=(n^2+2-2n)(n^2+2+2n)$
Để $n^4+4$ là số nguyên tố thì 1 trong 2 thừa số $n^2+2-2n, n^2+2+2n$ có giá trị bằng $1$, số còn lại là snt.
Vì $n^2+2-2n\leq n^2+2+2n$ với mọi $n\in\mathbb{N}$ nên $n^2+2-2n=1$
$\Leftrightarrow (n-1)^2=0\Leftrightarrow n=1$
Thay vào $n^4+4=5$ là snt (thỏa mãn)
Vậy..................
b) $n=0$ thì biểu thức không phải số nguyên tố
$n=1$ thì biểu thức là số nguyên tố (thỏa mãn)
$n\geq 2$
$n^{2021}+n^{2020}+1=(n^{2021}-n^2)+(n^{2020}-n)+n^2+n+1$
$=n^2(n^{2019}-1)+n(n^{2019}-1)+n^2+n+1$
$=(n^{2019}-1)(n^2+n)+n^2+n+1$
$=[(n^3)^{673}-1](n^2+n)+(n^2+n+1)$
$=(n^3-1).A(n^2+n)+(n^2+n+1)$
$=(n-1)(n^2+n+1)A(n^2+n)+(n^2+n+1)$
$=(n^2+n+1)[(n-1)A(n^2+n)+1]$
Với $n\geq 2$ thì $n^2+n+1>2$ và $(n-1)A(n^2+n)+1\geq 2$ nên biểu thức không thể là số nguyên tố.
Do đó $n=1$ là đáp án duy nhất.
