Biến đổi biểu thức \(M=9x^{2}+6y^{2}+18x-12xy-12y-27\) được biến đổi như sau: \(M=(9x^{2}-12xy+4y^{2})+(2y^{2}-12y+18)+(18x-36)-9\) \(M=(3x-2y)^{2}+2(y^{2}-6y+9)+18(x-2)-9\) \(M=(3x-2y)^{2}+2(y-3)^{2}+18(x-2)-9\) Để tìm giá trị nhỏ nhất, cần tìm mối liên hệ giữa \(x\) và \(y\). Đặt \(y-3=0\implies y=3\). Thay \(y=3\) vào biểu thức: \(M=(3x-2(3))^{2}+2(3-3)^{2}+18(x-2)-9\) \(M=(3x-6)^{2}+0+18(x-2)-9\) \(M=9(x-2)^{2}+18(x-2)-9\) Đặt \(t=x-2\). Biểu thức trở thành: \(M=9t^{2}+18t-9\) \(M=9(t^{2}+2t+1)-18\) \(M=9(t+1)^{2}-18\) Tìm giá trị nhỏ nhất Vì \((t+1)^{2}\ge 0\) với mọi \(t\), nên \(9(t+1)^{2}\ge 0\). Do đó, \(9(t+1)^{2}-18\ge -18\). Giá trị nhỏ nhất của \(M\) là \(-18\) khi \(t+1=0\implies t=-1\). Thay \(t=x-2\), ta có \(x-2=-1\implies x=1\). Thay \(x=1\) và \(y=3\) vào biểu thức ban đầu để kiểm tra: \(M=9(1)^{2}+6(3)^{2}+18(1)-12(1)(3)-12(3)-27\) \(M=9+54+18-36-36-27\) \(M=81-99=-18\). Kết luận Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M\) là \(-18\).
Học tốt nha 👍
