Tìm GTNN: \(A=\sqrt{x^2-4x+13}+\sqrt{x^2+10x+41}\)
Tìm GTNN: \(B=\sqrt{2x+5}+\sqrt{4-3x}\)
Nguyễn Việt Lâm Giúp em với anh :<< Cho em hỏi cách giải mấy dạng có dấu căn làm thế nào ạ :<
Hơn 300 rồi, lag quá, vô đây đi
Tùy bài bạn, mỗi bài 1 kiểu giải. Thường thì sử dụng BĐT Mincopxki có dạng:
\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(c+d\right)^2}\)
Nếu như tìm được các để các biến khử hết lẫn nhau (ví dụ câu a)
Dấu "=" xảy ra khi \(ad=bc\)
Còn không thì sử dụng bình phương và đánh giá (như câu b)
\(A=\sqrt{\left(x-2\right)^2+3^2}+\sqrt{\left(x+5\right)^2+4^2}\)
\(A=\sqrt{\left(2-x\right)^2+3^2}+\sqrt{\left(x+5\right)^2+4^2}\ge\sqrt{\left(2-x+x+5\right)^2+\left(3+4\right)^2}\)
\(A\ge7\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(4\left(2-x\right)=3\left(x+5\right)\Leftrightarrow x=-1\)
b/ ĐKXĐ: \(-\frac{5}{2}\le x\le\frac{4}{3}\)
\(B\ge0\Rightarrow B^2=9-x+2\sqrt{\left(2x+5\right)\left(4-3x\right)}\)
Do \(x\le\frac{4}{3}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}9-x\ge9-\frac{4}{3}=\frac{23}{3}\\\sqrt{\left(2x+5\right)\left(4-3x\right)}\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow B^2\ge\frac{23}{3}+0=\frac{23}{3}\Rightarrow B\ge\sqrt{\frac{23}{3}}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=\frac{4}{3}\)
\(A=\sqrt{\left(2-x\right)^2+3^2}+\sqrt{\left(x+5\right)^2+4^2}\ge\sqrt{\left(2-x+x+5\right)^2+\left(3+4\right)^2}\)
\(A\ge7\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(4\left(2-x\right)=3\left(x+5\right)\Leftrightarrow x=-1\)
b/ ĐKXĐ: \(-\frac{5}{2}\le x\le\frac{4}{3}\)
\(B\ge0\Rightarrow B^2=9-x+2\sqrt{\left(2x+5\right)\left(4-3x\right)}\)
Do \(x\le\frac{4}{3}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}9-x\ge9-\frac{4}{3}=\frac{23}{3}\\\sqrt{\left(2x+5\right)\left(4-3x\right)}\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow B^2\ge\frac{23}{3}+0=\frac{23}{3}\Rightarrow B\ge\sqrt{\frac{23}{3}}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=\frac{4}{3}\)
\(A=\sqrt{\left(x-2\right)^2+3^2}+\sqrt{\left(x+5\right)^2+4^2}\)
\(A=\sqrt{\left(2-x\right)^2+3^2}+\sqrt{\left(x+5\right)^2+4^2}\ge\sqrt{\left(2-x+x+5\right)^2+\left(3+4\right)^2}\)
\(A\ge7\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(4\left(2-x\right)=3\left(x+5\right)\Leftrightarrow x=-1\)
b/ ĐKXĐ: \(-\frac{5}{2}\le x\le\frac{4}{3}\)
\(B\ge0\Rightarrow B^2=9-x+2\sqrt{\left(2x+5\right)\left(4-3x\right)}\)
Do \(x\le\frac{4}{3}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}9-x\ge9-\frac{4}{3}=\frac{23}{3}\\\sqrt{\left(2x+5\right)\left(4-3x\right)}\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow B^2\ge\frac{23}{3}+0=\frac{23}{3}\Rightarrow B\ge\sqrt{\frac{23}{3}}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=\frac{4}{3}\)
\(P=\frac{a^4}{b^2}+\frac{b^4}{c^2}+\frac{c^4}{a^2}+2\left(\frac{a^2b}{c}+\frac{b^2c}{a}+\frac{c^2a}{b}\right)+2\left(\frac{a^2c}{b}+\frac{b^2a}{c}+\frac{c^2b}{a}\right)-2\left(\frac{a^2c}{b}+\frac{b^2a}{c}+\frac{c^2b}{a}\right)\)
Giờ cần phân tích cái đằng sau dấu trừ
\(\frac{a^2c}{b}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a^4}{b^2}+c^2\right)\)
\(\Rightarrow-2\left(\frac{a^2c}{b}+\frac{b^2a}{c}+\frac{c^2b}{a}\right)\ge-\left(\frac{a^4}{b^2}+c^2+\frac{b^4}{c^2}+\frac{c^4}{a^2}+a^2+b^2\right)\)
\(\Rightarrow P\ge-3+2\left(\frac{a^2b}{c}+\frac{b^2c}{a}+\frac{c^2a}{b}+\frac{a^2c}{b}+\frac{b^2a}{c}+\frac{c^2b}{a}\right)\)
Cái trong ngoặc kia dùng cosi là được ạ
Làm thế này được ko anh, điểm rơi bằng 1 nên em nghĩ phân tích được thế này :<
Sao cần thêm bớt phức tạp như vậy, cần thêm bớt để lợi dụng được giả thiết ấy, nghĩa là thêm bớt \(a^2;b^2;c^2\) sẽ hợp lý hơn, rồi nghĩ cách AM-GM để biểu thức cuối cùng chỉ xuất hiện \(a^2\) là được, với điểm rơi là 1 thì ta kết hợp thế nào cũng đáp ứng điểm rơi hết:
\(\frac{a^4}{b^2}+\frac{2a^2b}{c}=\frac{a^4}{b^2}+\frac{a^2b}{c}+\frac{a^2b}{c}+c^2-c^2\ge4\sqrt[4]{\frac{a^8b^2c^2}{b^2c^2}}-c^2=4a^2-c^2\)
Làm tương tự rồi cộng vế là xong
P/s: nghĩ cách biến tử số về mũ 4 rồi sử dụng Cauchy-Schwarz xem, cách này có sử dụng 1 bổ đề đã chứng minh rồi
@Nguyễn Việt Lâm,Hanako-kun
ai giải hộ em bài này với
tính T = 316C016 -315C116 + 314C216 - . . .+ C1616
đáp án nó ra 216 nhưng chả bt làm thế nào ^^'
Hè rồi nghỉ chơi đi em, zô năm học hãy học tiếp, học nhiều làm gì, nghỉ hè là kì nghỉ chứ có phải kì học đâu :(
P/s: với bài kia thì hãy xét khai triển:
\(\left(3-x\right)^{16}=C_{16}^03^{16}-C_{16}^13^{15}x+...+C_{16}^{16}x^{16}\)
Cho \(x=1\) là ra kết quả
help!!
cho a2+b2+c2 = ab+bc+ac +6 tìm min của P = (a-b)(b-c)(c-a)
em giải thế này (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 = 12 ≥ \(\sqrt[3]{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}\)
⇔576≥(a-b)2(b-c)2(c-a)2
⇔-24 ≤ P ≤ 24
em làm thế có đúng không ạ, với cả dấu bằng xảy ra khi nào ạ
Đầu tiên chúng ta cần biết 1 lý thuyết coi thể coi là hiển nhiên nhưng lại vô cùng thực dụng trong giải tích tổ hợp:
Với một bộ n số phân biệt, luôn có một và chỉ 1 cách sắp xếp chúng theo thứ tự nào đó (từ nhỏ tới lớn hoặc từ lớn tới nhỏ)
Ví dụ, cho bộ số {1;3;4;5;7} thì có đúng 1 cách sắp xếp các số này theo thứ tự từ lớn - nhỏ là 7;5;4;3;1, bạn không thể tìm ra cách thứ 2 nào khác.
Điều này dẫn tới 1 hệ quả cũng hiển nhiên không kém:
Cho 1 bộ gồm n số phân biệt, thì số cách chọn ra 1 bộ k số từ n số cũng đúng bằng số cách chọn ra bộ k số đồng thời sắp xếp chúng theo 1 thứ tự cố định nào đó (bởi vì mỗi một bộ chỉ có 1 cách xếp thứ tự)
Hay nói theo ngôn ngữ của toán học tổ hợp thì:
Cho tập hợp A gồm n phần tử phân biệt \(\left\{a_1;a_2;...;a_n\right\}\), số cách chọn ra 1 bộ \(k\) phần tử sao cho\(a_i< a_{i+1}< ...< a_{i+k-1}\) là \(C_n^k\) (cũng đúng bằng số cách chọn ra k phần tử từ n phần tử)
Do đó, trong bài toán trên, nếu bạn đặt \(\left(a+2;b+1;c\right)=\left(x;y;z\right)\)
Thì ta được: \(5\le x< y< z\le14\)
Với mỗi giá trị của x;y;z cho đúng 1 giá trị của a;b;c tương ứng
Từ 5 đến 14 có 10 số, chọn ra 3 số x;y;z theo thứ tự nhỏ - lớn là \(C_{10}^3\)
