Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
a)A = x⁴ + y² + 2x² + 7
b)B = x⁴ + 2x² + 5

Answer 1

`A = x^4 + y^2 + 2x^2 + 7`

`= (x^4 + 2x^2 +4 1) + y^2 + 6`

`= (x^2 + 1)^2 + y^2 + 6`

A nhỏ nhất `<=> (x^2 + 1)^2` nhỏ nhất và `y^2` nhỏ nhất

`<=> x^2 + 1` nhỏ nhất và `y = 0`

`<=> x = 0` và `y = 0`

Khi đó `A_(min) = 1^2 + 0^2 + 6 = 7`

Vậy ....

`B = x^4 + 2x^2 + 5`

`= x^4 + 2x^2 + 1+4`

`= (x^2 + 1)^2 + 4`

B nhỏ nhất `<=> x^2 + 1` nhỏ nhất `<=> x = 0`

Khi đó `B_(min) = 1^2 + 4 = 5`

Vậy ....

Answer 2

a: \(A=x^4+2x^2+y^2+7\)

\(=x^2\left(x^2+2\right)+y^2+7\)

\(x^2\left(x^2+2\right)>=0\forall x;y^2>=0\forall y\)

Do đó: \(x^2\left(x^2+2\right)+y^2>=0\forall x,y\)

=>\(A=x^2\left(x^2+2\right)+y^2+7>=7\forall x,y\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\)

b \(B=x^4+2x^2+5\)

\(=x^2\left(x^2+2\right)+5>=5\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x^2\left(x^2+2\right)=0\)

=>\(x^2=0\)

=>x=0