Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Hoàng Huệ Cẩm

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

\(P=\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}+\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\)

Trên miền \(D=\left\{\left(x;y;z\right):x>0;y>0;z>0;xyz=1\right\}\)

Đỗ Thùy Dương
8 tháng 5 2016 lúc 21:34

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si, ta có :

   \(P\ge\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{x^3y^3}}}{xy}+\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{y^3z^3}}}{yz}+\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{z^3x^3}}}{zx}\)

\(\Rightarrow P\ge\sqrt{\frac{3}{xy}}+\sqrt{\frac{3}{yz}}+\sqrt{\frac{3}{zx}}\)  (1)

Lại theo bất đẳng thức Cô si thì :

\(\sqrt{\frac{3}{xy}}+\sqrt{\frac{3}{yz}}+\sqrt{\frac{3}{zx}}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{27}{\left(xyz\right)^2}}}\)    (2)

Vì \(xyz=1\) nên ta có :

\(\sqrt{\frac{3}{xy}}+\sqrt{\frac{3}{yz}}+\sqrt{\frac{3}{zx}}\ge3\sqrt{3}\)

Khi \(x=y=z=1\Rightarrow P=3\sqrt{3}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P=3\sqrt{3}\)

 

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Minh Đức
Xem chi tiết
Phạm Thị Thủy
Xem chi tiết
Lê Thanh Phương
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Đức
Xem chi tiết
Lightning Farron
Xem chi tiết
erosennin
Xem chi tiết
erosennin
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Đức
Xem chi tiết
Trùm Trường
Xem chi tiết