Lời giải:
Gọi tọa độ điểm $A$ là $(5,a)$
PTTT tại tiếp điểm $(x_0,y_0)$ là:
(d): $y=y'(x_0)(x-x_0)+y_0=\frac{-4}{(x_0-1)^2}(x-x_0)+\frac{x_0+3}{x_0-1}$
$A\in (d)$ nên:
$a=\frac{-4}{(x_0-1)^2}(5-x_0)+\frac{x_0+3}{x_0-1}$
$\Leftrightarrow x_0^2(a-1)-2x_0(a+3)+(a+23)=0$
Xét PT $x^2(a-1)-2x(a+3)+(a+23)=0(*)$
Để từ $A$ kẻ được 2 tiếp tuyến thì $(*)$ phải có 2 nghiệm phân biệt khác $1$
Điều này xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} a-1\neq 0\\ \Delta'=(a+3)^2-(a+23)(a-1)>0\\ a-1-2(a+3)+a+23\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\neq 1\\ a<2\end{matrix}\right.(**)\)
Hoành độ 2 tiếp điểm $M,N$ là nghiệm của $(*)$. Theo định lý Viet:
\(\left\{\begin{matrix} x_M+x_N=\frac{2a+6}{a-1}\\ x_Mx_N=\frac{a+23}{a-1}\end{matrix}\right.\)
$\overrightarrow{BM}=(x_M-1,y_M-3); \overrightarrow{BN}=(x_N-1,y_N-3)$
Để $B,M,N$ thẳng hàng thì:
\(\frac{x_M-1}{x_N-1}=\frac{y_M-3}{y_N-3}=\frac{\frac{x_M+3}{x_M-1}-3}{\frac{x_N+3}{x_N-1}-3}=\frac{(3-x_M)(x_N-1)}{(x_M-1)(3-x_N)}\)
\(\Leftrightarrow 3x_M^2-x_M^2x_N-6x_M-x_N=3x_N^2-x_Mx_N^2-6x_N-x_M\)
\(\Leftrightarrow (x_M-x_N)[3(x_M+x_N)-x_Mx_N-5)=0\)
\(\Leftrightarrow 3(x_M+x_N)-x_Mx_N-5=0\) (do $x_M\neq x_N$)
\(\Leftrightarrow \frac{6(a+3)}{a-1}-\frac{a+23}{a-1}-5=0\) (luôn đúng)
Vậy mọi giá trị $a$ thỏa mãn $(**)$ là đáp án.
