Question

Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình (sinx-1).\(\left(cos^2x-cosx+m\right)\) =0 có đúng 5 nghiệm thuộc đoạn \(\left[0;2\pi\right]\) .

Answer 1

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=1\\cos^2x-cosx+m=0\end{matrix}\right.\)

Do \(sinx=1\) có đúng 1 nghiệm thuộc \(\left[0;2\pi\right]\) nên \(cos^2x-cosx+m=0\) có 4 nghiệm thuộc đoạn đã cho

Đặt \(cosx=t\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}cosx=t\\t^2-t=-m\end{matrix}\right.\) đều có 2 nghiệm pb

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1< t< 1\\t^2-t=m\end{matrix}\right.\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=t^2-t\) trên \(\left(-1;1\right)\)

\(f\left(-1\right)=2\) ; \(f\left(1\right)=0\) ; \(f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow-\frac{1}{4}< -m< 0\Rightarrow0< m< \frac{1}{4}\)