\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1=2^a\\x^2+1=2^b\end{matrix}\right.\) với \(a\le b\) tự nhiên
Gọi \(d=ƯC\left(x+1;x^2+1\right)\Rightarrow x\left(x+1\right)-\left(x^2+1\right)⋮d\)
\(\Rightarrow x-1⋮d\Rightarrow\left(x+1\right)-\left(x-1\right)⋮d\)
\(\Rightarrow2⋮d\Rightarrow d=\left\{1;2\right\}\)
Nếu \(a\ge2\) đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=p+2\\b=q+2\end{matrix}\right.\) với p;q tự nhiên
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2^a=4.2^p\\2^b=4.2^q\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2^a;2^b\) có 1 ước chung khác là 4 (trái với chứng minh trên chỉ có 2 ước chung là 2 và 1)
\(\Rightarrow a< 2\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\a=1\end{matrix}\right.\)
- Với \(a=0\Rightarrow x=y=0\)
- Với \(a=1\Rightarrow x=1\Rightarrow y=2\)
Từ gt suy ra: \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=2^a\\x^2+1=2^b\end{matrix}\right.\left(a,b\in N;0< a< b;a+b=y\right)\).
\(\Rightarrow\left(x^2+1\right)-\left(x+1\right)⋮2^a\)
\(\Rightarrow x\left(x-1\right)⋮2^a\).
Mặt khác, ta có x + 1 chẵn nên x lẻ
\(\Rightarrow x-1⋮2^a\)
\(\Rightarrow2⋮2^a\Rightarrow a=1\)
\(\Rightarrow x=1\).
Từ đây ta tìm được y = 2.
Vậy (x, y) = (1; 2).
