Câu hỏi của Lê Minh Thuận

Question

tìm 2 số nguyên a,b sao cho a^4+4b^4 là số nguyên tố

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

Đặt $p=a^4+4b^4=a^4+4a^2b^2+4b^4-4a^2b^2$ với p nguyên tố- Với $a=0$ hoặc $b=0$ ko thỏa mãn- Với $ab\ne0$Do $\left(a_0;b_0\right)$ thỏa mãn thì $\left(\pm a_0;\pm b_0\right)$ cũng thỏa mãn nên ta chỉ cần xét với $a;b>0$ $p=\left(a^2+2b^2\right)^2-\left(2ab\right)^2$$p=\left(a^2+2b^2-2ab\right)\left(a^2+2b^2+2ab\right)$Do $a^2+2b^2+2ab>a^2+2b^2-2ab>0$Để p là số nguyên tố $\Rightarrow a^2+2b^2-2ab=1$$\Rightarrow\left(a-b\right)^2+b^2=1$$\Rightarrow b^2\le1$ (do $\left(a-b\right)^2\ge0$)$\Rightarrow b^2=\left\{0;1\right\}$ $\Rightarrow b^2=1$$\Rightarrow b=1$$\Rightarrow\left(a-1\right)^2+1^2=1$$\Rightarrow a=1$$\Rightarrow p=1^4+4.1^4=5$ là SNT (thỏa mãn)Vậy $\left(a;b\right)=\left(\pm1;\pm1\right)$Câu trả lời: Đặt $p=a^4+4b^4=a^4+4a^2b^2+4b^4-4a^2b^2$ với p nguyên tố- Với $a=0$ hoặc $b=0$ ko thỏa mãn- Với $ab\ne0$Do $\left(a_0;b_0\right)$ thỏa mãn thì $\left(\pm a_0;\pm b_0\right)$ cũng thỏa mãn nên ta chỉ cần xét với $a;b>0$ $p=\left(a^2+2b^2\right)^2-\left(2ab\right)^2$$p=\left(a^2+2b^2-2ab\right)\left(a^2+2b^2+2ab\right)$Do $a^2+2b^2+2ab>a^2+2b^2-2ab>0$Để p là số nguyên tố $\Rightarrow a^2+2b^2-2ab=1$$\Rightarrow\left(a-b\right)^2+b^2=1$$\Rightarrow b^2\le1$ (do $\left(a-b\right)^2\ge0$)$\Rightarrow b^2=\left\{0;1\right\}$ $\Rightarrow b^2=1$$\Rightarrow b=1$$\Rightarrow\left(a-1\right)^2+1^2=1$$\Rightarrow a=1$$\Rightarrow p=1^4+4.1^4=5$ là SNT (thỏa mãn)Vậy $\left(a;b\right)=\left(\pm1;\pm1\right)$

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)