Theo hệ thức lượng cho tam giác vuông ABC và kết hợp với đề bài ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}HB.HC=AH^2\\\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}HB.HC=144\\\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}HB=\dfrac{144}{HC}\left(1\right)\\\dfrac{144}{\dfrac{HC}{HC}}=\dfrac{1}{3}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(PT\left(2\right)\Leftrightarrow\dfrac{144}{HC^2}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow HC^2=432\Leftrightarrow HC=12\sqrt{3}cm\)
Thay \(HC=12\sqrt{3}\) vào phương trình (1) ta được :
\(HB=\dfrac{144}{12\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow BC=HB+HC=4\sqrt{3}+12\sqrt{3}=16\sqrt{3}cm\)
Vậy \(BC=16\sqrt{3}cm\)
