a) Xét tứ giác AEHF có
\(\widehat{EAF}=90^0\)(ΔABC vuông tại A)
\(\widehat{AEH}=90^0\)(HE⊥AB)
\(\widehat{AFH}=90^0\)(HF⊥AC)
Do đó: AEHF là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
b) Gọi giao điểm của AM và EF là I
Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)
mà AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(gt)
nên \(AM=\frac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(MB=MC=\frac{BC}{2}\)(M là trung điểm của BC)
nên AM=MB=MC
Xét ΔAMC có AM=MC(cmt)
nên ΔAMC cân tại M(Định nghĩa tam giác cân)
⇒\(\widehat{C}=\widehat{CAM}\)(hai góc ở đáy của ΔAMC cân tại M)
Ta có: ΔAHB vuông tại H(AH⊥BC)
nên \(\widehat{HAB}+\widehat{B}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau trong ΔAHB vuông tại H)(1)
Ta có: tia FE nằm giữa hai tia FA,FH
nên \(\widehat{AFE}+\widehat{HFE}=\widehat{HFA}\)
hay \(\widehat{AFE}+\widehat{HFE}=90^0\)(2)
Xét ΔAHE vuông tại E và ΔFEH vuông tại H có
AH=EF(hai đường chéo của hình chữ nhật AEHF)
HE chung
Do đó: ΔAHE=ΔFEH(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
⇒\(\widehat{EAH}=\widehat{HFE}\)(hai góc tương ứng)(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat{AFE}=\widehat{ABC}\)
Xét ΔAIF có \(\widehat{AIF}+\widehat{IAF}+\widehat{AFI}=180^0\)(Định lí tổng ba góc trong một tam giác)
\(\Leftrightarrow\widehat{AIF}+\widehat{MAC}+\widehat{ABC}=180^0\)
\(\Leftrightarrow\widehat{AIF}+\widehat{ACB}+\widehat{ABC}=180^0\)
\(\Leftrightarrow\widehat{AIF}+90^0=180^0\)
hay \(\widehat{AIF}=90^0\)
⇒EF⊥AM(đpcm)