Question

Tam giác ABC nhọn có các đường cao BD và CE. Kẻ các tia phân giác của các góc ABC và ACE, chúng cắt nhau tại O và lần lượt cắt AC , AB tại N, M. Tia BN cắt CE tại K, tia CM cắt BD tại H.

a)BN vuông góc với CM

B) Chứng min tứ giác MNHK là hình thoi.

Answer 1

a: sửa đề: BO là phân giác của góc ABD

BO là phân giác của góc ABD

=>\(\hat{ABO}=\hat{DBO}=\frac12\cdot\hat{ABD}\)

CO là phân giác của góc ACE

=>\(\hat{ACO}=\hat{OCE}=\frac12\cdot\hat{ACE}\)

\(\hat{OBC}+\hat{OCB}\)

\(=\hat{ABC}-\frac12\cdot\hat{ABD}+\hat{ACB}-\frac12\cdot\hat{ACE}\)

\(=\hat{ABC}+\hat{ACB}-\hat{ABD}=\hat{DBC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>ΔBOC vuông tại O

=>BN⊥CM tại O

b: Xét ΔMOB vuông tại O và ΔHOB vuông tại O có

BO chung

\(\hat{OBM}=\hat{OBH}\)

Do đó: ΔMOB=ΔHOB

=>OM=OH

=>O là trung điểm của MH

Xét ΔCOK vuông tại O và ΔCON vuông tại O có

CO chung

\(\hat{KCO}=\hat{NCO}\)

Do đó: ΔCOK=ΔCON

=>OK=ON

=>O là trung điểm của NK

Xét tứ giác MNHK có

O là trung điểm chung của MH và NK

=>MNHK là hình bình hành

Hình bình hành MNHK có MH⊥NK

nên MNHK là hình thoi