tam giác ABC cân tại A có AB bằng 36 cm BC = 20 cm đường cao AH đường phân giác BD cắt nhau tại I.
a) Tính độ dài AD và CD
b)chứng minh AI* DC = 2DE* IH
c )Tính độ dài đường phân giác BD
d) kẻ AE vuông góc với BD tại E cắt BC tại k.Chứng minh tam giác IHK đồng dạng với tam giác BHA và tam giác AIB đồng dạng với tam giác EIH
e)chứng minh AE*BH+AB*EH=AH*BE
f) chứng minh AI*AH+BI*BE=AB^2
Sửa đề: ΔABC vuông tại A và AB=16cm
a: ΔABC vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(AC^2=20^2-16^2=400-256=144=12^2\)
=>AC=12(cm)
Xét ΔBAC có BD là phân giác
nên \(\frac{DA}{DC}=\frac{BA}{BC}=\frac{16}{20}=\frac45\)
=>\(\frac{DA}{4}=\frac{DC}{5}\)
mà DA+DC=AC=12cm
nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\frac{DA}{4}=\frac{DC}{5}=\frac{DA+DC}{4+5}=\frac{12}{9}=\frac43\)
=>\(\begin{cases}DA=4\cdot\frac43=\frac{16}{3}\left(\operatorname{cm}\right)\\ DC=5\cdot\frac43=\frac{20}{3}\left(\operatorname{cm}\right)\end{cases}\)
c: ΔABD vuông tại A
=>\(AB^2+AD^2=BD^2\)
=>\(BD^2=16^2+\left(\frac{16}{3}\right)^2=256+\frac{256}{9}=\frac{2560}{9}\)
=>\(BD=\sqrt{\frac{2560}{9}}=\frac{16\sqrt{10}}{3}\left(\operatorname{cm}\right)\)
d: Xét ΔIEA vuông tại E và ΔIHB vuông tại H có
\(\hat{EIA}=\hat{HIB}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔIEA~ΔIHB
=>\(\frac{IE}{IH}=\frac{IA}{IB}\)
=>\(\frac{IE}{IA}=\frac{IH}{IB}\)
Xét ΔIEH và ΔIAB có
\(\frac{IE}{IA}=\frac{IH}{IB}\)
góc EIH=góc AIB
Do đó: ΔIEH~ΔIAB
f: Gọi M là giao điểm của KI và AB
Xét ΔKAB có
AH,BE là các đường cao
AH cắt BE tại I
Do đó: I là trực tâm của ΔKAB
=>KI⊥AB tại M
Xét ΔAMI vuông tại M và ΔAHB vuông tại H có
\(\hat{MAI}\) chung
Do đó: ΔAMI~ΔAHB
=>\(\frac{AM}{AH}=\frac{AI}{AB}\)
=>\(AM\cdot AB=AI\cdot AH\)
Xét ΔBMI vuông tại M và ΔBEA vuông tại E có
\(\hat{MBI}\) chung
Do đó: ΔBMI~ΔBEA
=>\(\frac{BM}{BE}=\frac{BI}{BA}\)
=>\(BI\cdot BE=BM\cdot BA\)
\(AI\cdot AH+BI\cdot BE\)
\(=AM\cdot AB+BM\cdot AB\)
\(=AB\left(AM+BM\right)=AB^2\)
