Question

S=2⁸3⁸ \(C^0_8\) + 2⁷3⁷ \(C^1_8\) +...+ \(C^8_8\)

S= 2ⁿ \(C^0_n\)+ 2^n-2 \(C^{n-2}_n\) + 2^n-4 \(C^{n-4}_n\) +...+\(C^n_n\)

giúp em với ạ

 

 

Answer 1

a.

Xét khai triển:

\(\left(1+x\right)^8=C_8^0x^8+C_8^1x^7+...+C_8^7x+C_8^8\)

Thay \(x=2.3=6\) ta được:

\(\left(1+6\right)^8=C_8^0.2^83^8+C_8^12^73^7+...+C_8^8\)

\(\Rightarrow S=7^8\)

b.

Câu này quy luật tổng S không đúng (nó ko hợp lý ở số hạng cuối \(C_n^n\), số hạng cuối là \(C_n^n\) chỉ khi n là số chẵn, còn n là số lẻ thì số hạng cuối phải là \(2^1.C_n^{n-1}\))

Coi như n là số chẵn:

Do \(C_n^k=C_n^{n-k}\) nên ta có thể viết lại cho quy luật dễ nhìn hơn:

\(S=2^nC_n^0+2^{n-2}C_n^2+2^{n-4}C_n^4+...+C_n^n\)

Xét khai triển:

\(\left(1+x\right)^n=C_n^0x^n+C_n^1x^{n-1}+C_n^2x^{n-2}+...+C_n^{n-2}x^2+C_n^{n-1}x+C_n^n\) (1)

Xét khai triển

\(\left(1-x\right)^n=C_n^0.\left(-x\right)^n+C_n^1\left(-x\right)^{n-1}+C_n^2.\left(-x\right)^{n-2}+...+C_n^{n-2}\left(-x\right)^2+C_n^{n-1}\left(-x\right)+C_n^n\)

Do n chẵn 

\(\Rightarrow\left(1-x\right)^n=C_n^0x^n-C_n^1x^{n-1}+C_n^{n-2}x^{n-2}+...+C_n^n\) (2)

Cộng vế (1) và (2):

\(\Rightarrow\left(1+x\right)^n+\left(1-x\right)^n=2\left[C_n^0x^n+C_n^2x^{n-2}+...+C_n^n\right]\)

\(\Rightarrow C_n^0x^n+C_n^2x^{n-2}+...+C_n^n=\dfrac{\left(1+x\right)^n+\left(1-x\right)^n}{2}\)

Thay \(x=2\)

\(\Rightarrow C_n^0.2^n+C_n^22^{n-2}+...+C_n^n=\dfrac{3^n+1}{2}\)

\(\Rightarrow S=\dfrac{3^n+1}{2}\)