Question

Rút gọn và tìm giá trị lớn nhất của phân thức sau

\(\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{5}{x-\sqrt{x}-6}-\frac{\sqrt{x}-2}{3-\sqrt{x}}\)

Answer 1

Gọi phân thức trên là P

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ne9\end{matrix}\right.\)

\(P=\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{5}{x-\sqrt{x}-6}-\frac{\sqrt{x}-2}{3-\sqrt{x}}\\ =\frac{\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\frac{5}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}+\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\\ =\frac{\sqrt{x}-3-5+x-4}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\\ =\frac{x+\sqrt{x}-12}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\\ =\frac{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}\)

Ta có: \(P=\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}=\frac{\sqrt{x}+2+2}{\sqrt{x}+2}=1+\frac{2}{\sqrt{x}+2}\)

Để P đạt GTLN thì \(\frac{2}{\sqrt{x}+2}\)đạt GTLN, hay \(\sqrt{x}+2\) đạt GTNN

Ta thấy \(\sqrt{x}+2\ge2\forall x\Leftrightarrow Min\sqrt{x}+2=2\)khi x=0

Khi đó Max \(P=1+\frac{2}{2}=1+1=2\)

Answer 2

Cho mk mượn kq củaThảo Nguyễn Phạm Phương để tìm GTLN nha :D

Để P lớn nhất\(\Leftrightarrow1+\frac{2}{\sqrt{x}+2}\) lớn nhất

Có \(\sqrt{x}+2\ge2\)\(\Rightarrow\frac{2}{\sqrt{x}+2}\le\frac{2}{2}=1\)

\(\Rightarrow1+\frac{2}{\sqrt{x}+2}\le1+1=2\)

"="<=>x=0

Answer 3

Cảm ơn mọi người nk .