Question

Phương trình \(2^{x-2+\sqrt[3]{m-3x}}+\left(x^3-6x^2+9x+m\right).2^{x-2}=2^{x+1}+1\) có `3` nghiệm phân biệt khi và chỉ khi `m in (a;b)`. tính `T=b^2 -a^2`

`A. 36`

`B.48`

`C.64`

`D. 72`

Answer 1

\(\Leftrightarrow2^{\sqrt[3]{m-3x}}+x^3-6x^2+9x+m=8+2^{2-x}\)

\(\Leftrightarrow2^{\sqrt[3]{m-3x}}+\left(x-2\right)^3+m-3x=2^{2-x}\)

\(\Leftrightarrow2^{\sqrt[3]{m-3x}}+m-3x=2^{2-x}+\left(2-x\right)^3\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=2^t+t\Rightarrow f'\left(t\right)=2^t.ln2+1>0;\forall t\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến trên R

\(\Rightarrow m-3x=\left(2-x\right)^3\)

\(\Leftrightarrow m=-x^3+6x^2-9x+8\)

Từ đồ thị \(f\left(x\right)=-x^3+6x^2-9x+8\) ta thấy pt có 3 nghiệm khi \(4< m< 8\)

\(\Rightarrow T=8^2-4^2=48\)