Question

(O; R) là đường tròn đường kính AB.
M là điểm bất kỳ trên đường tròn sao cho AM > MBAM>MB.
Tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau tại E.
Đường thẳng đi qua O và vuông góc AB cắt tia BM tại F.Cần chứng minh: 4 điểm E, F, M, O cùng thuộc một đường tròn.

Answer 1

Xét (O) có

EA,EM là các tiếp tuyến

Do đó: EA=EM

=>E nằm trên đường trung trực của AM(1)

Ta có: OA=OM

=>O nằm trên đường trung trực của AM(2)

Từ (1),(2) suy ra EO là đường trung trực của AM

=>EO⊥AM

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>AM⊥MB

mà EO⊥AM

nên EO//MB

=>EO//FB

Xét ΔEAO vuông tại A và ΔFOB vuông tại O có

AO=OB

\(\hat{EOA}=\hat{FBO}\) (hai góc đồng vị, EO//FB)

Do đó: ΔEAO=ΔFOB

=>EO=FB

Xét tứ giác EOBF có

EO//BF

EO=BF

Do đó: EOBF là hình bình hành

=>EF//OB

=>EF//OA

Xét tứ giác EFOA có

EF//OA

EA//OF

Do đó: EFOA là hình bình hành

Hình bình hành EFOA có \(\hat{EAO}=90^0\)

nên EFOA là hình chữ nhật

=>\(\hat{EFO}=90^0\)

Xét tứ giác OMFE có \(\hat{OFE}=\hat{OME}=90^0\)

nên OMFE là tứ giác nội tiếp

=>O,M,F,E cùng thuộc một đường tròn