Một nhà máy sản xuất hai loại thuốc trừ sâu nông nghiệp là A và B. Cứ sản xuất mỗi thùng loại A thì nhà máy thải ra 0,25 kg khí carbon dioxide (\(C{O_2}\)) và 0,60 kg khí sulful dioxide (\(S{O_2}\)), sản xuất mỗi thùng loại B thì thải ra 0,50 kg \(C{O_2}\) và 0,20 kg \(S{O_2}\). Biết rằng, quy định hạn chế sản lượng \(C{O_2}\) của nhà máy tối đa là 75 kg và \(S{O_2}\)tối đa là 90 kg mỗi ngày.
a) Tìm hệ bất phương trình mô tả số thùng của mỗi loại thuốc trừ sâu mà nhà máy có thể sản xuất mỗi ngày để đáp ứng các điều kiện hạn chế trên. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đó trên mặt phẳng toạ độ.
b) Việc nhà máy sản xuất 100 thùng loại A và 80 thùng loại B mỗi ngày có phù hợp với quy định không?
c) Việc nhà máy sản xuất 60 thùng loại A và 160 thùng loại B mỗi ngày có phù hợp với quy định không?
Tham khảo:
a) Gọi x là số thùng thuốc trừ sâu loại A, y là số thùng thuốc trừ sâu loại B mà nhà máy sản xuất mỗi ngày. Ta có các điều kiện ràng buộc đối với x, y như sau:
- Hiển nhiên \(x \ge 0,y \ge 0\)
- sản lượng \(C{O_2}\) tối đa là 75 kg nên \(0,25x + 0,5y \le 75\)
- sản lượng \(S{O_2}\) tối đa là 90 kg nên \(0,6x + 0,2y \le 90\)
Từ đó ta có hệ bất phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}0,25x + 0,5y \le 75\\0,6x + 0,2y \le 90\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\)
Biểu diễn từng miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ Oxy, ta được như hình dưới.
Miền không gạch chéo (miền tứ giác OABC, bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình.
b) Nhà máy sản xuất 100 thùng loại A và 80 thùng loại B mỗi ngày tức là \(x = 100,y = 80.\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}0,25.100 + 0,5.80 = 65 \le 75\\0,6.100 + 0,2.80 = 76 \le 90\\100 \ge 0\\80 \ge 0\end{array} \right.\) nên cặp số (100; 80) là một nghiệm của hệ bất phương trình a).
Do đó việc nhà máy sản xuất 100 thùng loại A và 80 thùng loại B mỗi ngày là phù hợp với quy định.
c) Vì \(0,25.60 + 0,5.160 = 95 > 75\)nên việc sản xuất 60 thùng loại A và 160 thùng loại B mỗi ngày vượt quá sản lượng \(C{O_2}\) tối đa.
Vậy việc nhà máy sản xuất 60 thùng loại A và 160 thùng loại B mỗi ngày là không phù hợp với quy định.