mong được các anh chị bạn bè giúp em bài 15 ạ.
Câu 15 (2,5 điểm) Cho ΔABC vuông tại A (AB < AC), có AH là đường cao (H thuộc cạnh BC). Kẻ HM vuông góc với AB, HN vuông góc với AC (M thuộc AB, N thuộc AC). Gọi I là trung điểm của BC. MN cắt sAH, AI tại O và K. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn và xác định tâm đường tròn đó.
b) \(\widehat{AMN} = \widehat{NCB}\)
c) \(\frac{1}{AK} = \frac{1}{HB} + \frac{1}{HC}\)
a: Xét tứ giác AMHN có \(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=\widehat{MAN}=90^0\)
nên AMHN là hình chữ nhật
=>AMHN là tứ giác nội tiếp đường tròn có hai đường kính là AH và MN
=>AMHN nội tiếp đường tròn có tâm là giao điểm của AH và MN
=>AMHN nội tiếp (O)
b: Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao
nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao
nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
=>\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)
Xét ΔAMN vuông tại A và ΔACB vuông tại A có
\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)
Do đó: ΔAMN~ΔACB
=>\(\widehat{AMN}=\widehat{ACB}\); \(\widehat{ANM}=\widehat{ABC}\)
c: ΔABC vuông tại A
mà AI là đường trung tuyến
nên IA=IC
=>ΔIAC cân tại I
=>\(\widehat{IAC}=\widehat{ICA}\)
\(\widehat{KAC}+\widehat{KNA}=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)
=>AI\(\perp\)MN tại K
Xét ΔAMN vuông tại A có AK là đường cao
nên \(\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2}=\dfrac{AM^2+AN^2}{\left(AM\cdot NA\right)^2}\)
\(=\dfrac{MN^2}{\left(\dfrac{AH^2}{AB}\cdot\dfrac{AH^2}{AC}\right)^2}=\dfrac{AH^2}{\left(\dfrac{AH^4}{AB\cdot AC}\right)^2}=\dfrac{AH^2}{\left(\dfrac{AH^4}{AH\cdot BC}\right)^2}\)
\(=\dfrac{AH^2}{\left(\dfrac{AH^3}{BC}\right)^2}=AH^2:\dfrac{AH^6}{BC^2}=\dfrac{BC^2}{AH^4}=\left(\dfrac{BC}{AH^2}\right)^2\)
=>\(\dfrac{1}{AK}=\dfrac{BC}{AH^2}=\dfrac{HB+HC}{HB\cdot HC}=\dfrac{1}{HB}+\dfrac{1}{HC}\)
