Bài 2: Tích phân

Quyên Nguyễn

Mọi người ơi , giúp e tính tích phân bất định với ạ ! Cảm ơn m.n ạ !

a.\(\int\frac{x+6}{\sqrt{x^2-2x+10}}dx\)

b.\(\int\frac{x}{\sqrt{3-2x-x^2}}dx\)

c.\(\int\sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}dx\)

d,\(\int\frac{dx}{1+tanx}\)

e.\(\int tan^3xdx\)

f. \(\int cos^3xdx\)

g. \(\int sin^2x.cos^3xdx\)

h. \(\int sinx.cos2xdx\)

i. \(\int\frac{sin2x}{1+cos^2x}dx\)

Nguyễn Việt Lâm
26 tháng 8 2020 lúc 13:59

a.

\(I=\int\frac{\frac{1}{2}\left(2x-2\right)+7}{\sqrt{x^2-2x+10}}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x-2}{\sqrt{x^2-2x+10}}dx+7\int\frac{1}{\sqrt{x^2-2x+10}}dx=\frac{1}{2}I_1+7I_2\)

Xét \(I_1=\int\frac{2x-2}{\sqrt{x^2-2x+10}}dx=\int\frac{d\left(x^2-2x+10\right)}{\sqrt{x^2-2x+10}}=2\sqrt{x^2-2x+10}+C_1\)

Xét \(I_2=\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-2x+10}}=\int\frac{dx}{\sqrt{\left(x-1\right)^2+9}}\)

Đặt

\(u=x-1+\sqrt{\left(x-1\right)^2+10}\Rightarrow du=\left(1+\frac{\left(x-1\right)}{\sqrt{\left(x-1\right)^2+10}}\right)dx=\frac{x-1+\sqrt{\left(x-1\right)^2+10}}{\sqrt{\left(x-1\right)^2+10}}dx\)

\(\Rightarrow du=\frac{u}{\sqrt{\left(x-1\right)^2+10}}dx\Rightarrow\frac{dx}{\sqrt{\left(x-1\right)^2+10}}=\frac{du}{u}\)

\(\Rightarrow I_2=\int\frac{du}{u}=ln\left|u\right|+C_2=ln\left|x-1+\sqrt{x^2-2x+10}\right|+C_2\)

\(\Rightarrow I=\sqrt{x^2-2x+10}+7ln\left|x-1+\sqrt{x^2-2x+10}\right|+C\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
26 tháng 8 2020 lúc 14:05

2.

\(I=\int\frac{\frac{1}{2}\left(2x+2\right)-1}{\sqrt{3-2x-x^2}}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x+2}{\sqrt{3-2x-x^2}}dx-\int\frac{1}{\sqrt{3-2x-x^2}}dx=\frac{1}{2}I_1-I_2\)

Xét \(I_1=\int\frac{2x+2}{\sqrt{3-2x-x^2}}dx=-\int\frac{d\left(3-2x-x^2\right)}{\sqrt{3-2x-x^2}}=-2\sqrt{3-2x-x^2}+C_1\)

Xét \(I_2=\int\frac{1}{\sqrt{3-2x-x^2}}dx=\int\frac{1}{\sqrt{4-\left(x+1\right)^2}}dx\)

Đặt \(x+1=2sinu\Rightarrow dx=2cosu.du\)

\(\Rightarrow I_2=\int\frac{2cosu.du}{2.cosu}=\int du=u+C_2=arcsin\left(\frac{x+1}{2}\right)+C_2\)

\(\Rightarrow I=-\sqrt{3-2x-x^2}-arcsin\left(\frac{x+1}{2}\right)+C\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
26 tháng 8 2020 lúc 14:38

c/

\(I=\int\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}dx\)

Đặt \(\sqrt{x}=sint\Rightarrow x=sin^2t\Rightarrow dx=2sint.cost.dt\)

\(\Rightarrow I=\int\frac{2sint.cost\left(1-sint\right)}{\sqrt{1-sin^2t}}dt=\int\frac{2sint.cost\left(1-sint\right)}{cost}dt=\int\left(2sint-2sin^2t\right)dt\)

\(=\int\left(2sint+cos2t-1\right)dt=-2cost+\frac{1}{2}sin2t-t+C\)

\(=-2\sqrt{1-sin^2t}+\frac{1}{2}sint\sqrt{1-sin^2t}-t+C\)

\(=-2\sqrt{1-x}+\frac{1}{2}\sqrt{x\left(1-x\right)}-arcsin\left(\sqrt{x}\right)+C\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
26 tháng 8 2020 lúc 14:44

4.

\(I=\int\frac{cosx}{sinx+cosx}dx=\frac{1}{2}\int\frac{cosx-sinx+cosx+sinx}{sinx+cosx}dx\)

\(=\frac{1}{2}\int\frac{cosx-sinx}{sinx+cosx}dx+\int dx=\frac{1}{2}\int\frac{d\left(sinx+cosx\right)}{sinx+cosx}+\int dx\)

\(=ln\left|sinx+cosx\right|+x+C\)

5.

\(I=\int tan^3xdx=\int\frac{sin^3x}{cos^3x.dx}=\int\frac{\left(1-cos^2x\right).sinx}{cos^3x}dx\)

Đặt \(cosx=t\Rightarrow sinx.dx=-dt\)

\(I=\int\frac{t^2-1}{t^3}dt=\int\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t^3}\right)dt=ln\left|t\right|+\frac{1}{2t^2}+C\)

\(=ln\left|cosx\right|+\frac{1}{2cos^2x}+C\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
26 tháng 8 2020 lúc 14:46

6.

\(I=\int cos^3xdx=\int\left(1-sin^2x\right)cosxdx\)

\(=\int\left(1-sin^2x\right)d\left(sinx\right)=sinx-\frac{1}{3}sin^3x+C\)

7.

\(I=\int sin^2x.cos^3xdx=\int sin^2x\left(1-sin^2x\right)cosxdx\)

\(=\int\left(sin^2x-sin^4x\right)d\left(sinx\right)=\frac{1}{3}sin^3x-\frac{1}{5}sin^5x+C\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
26 tháng 8 2020 lúc 14:49

8.

\(I=\int sinx.cos2xdx=\int\left(2cos^2x-1\right)sinxdx\)

\(=\int\left(1-2cos^2x\right)d\left(cosx\right)=cosx-\frac{2}{3}cos^3x+C\)

9.

\(I=\int\frac{sin2x}{1+cos^2x}dx=-\int\frac{2\left(-sinx\right).cosx}{1+cos^2x}dx=-\int\frac{d\left(cos^2x\right)}{1+cos^2x}\)

\(=-ln\left|1+cos^2x\right|+C\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Phan thu trang
Xem chi tiết
Phan thu trang
Xem chi tiết
Trần Thị Hằng
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Trần Thị Bảo Ngọc
Xem chi tiết
kiếp đỏ đen
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết