Question

( m + 1)x² - 2( m - 1 )x + m - 2 = 0
a ) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b ) Xác định m để phương trình có hai nghiệm : \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{7}{4}\)
c ) Tìm GTNN của A = \(2x^2_1+2x_1^2+2x_1^2x_2^2\) trong trường hợp phương trình có hai nghiệm

Answer 1

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(m+1\right)\left(m-2\right)=-m+3\)

a/ Để pt có 2 nghiệm pb

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+1\ne0\\-m+3>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-1\\m< 3\end{matrix}\right.\)

b/ Để nghiệm pt khác 0 (biểu thức xác định) \(\Rightarrow m\ne2\)

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{2\left(m-1\right)}{m+1}\\x_1x_2=\frac{m-2}{m+1}\end{matrix}\right.\)

\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{7}{4}\Leftrightarrow\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{7}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(m-1\right)}{m-2}=\frac{7}{4}\Leftrightarrow8m-8=7m-14\)

\(\Rightarrow m=-6\)

c/ \(A=2\left(x_1+x_2\right)^2+2x_1^2x_2^2-4x_1x_2\)

\(=8\left(\frac{m-1}{m+1}\right)^2+2\left(\frac{m-2}{m+1}\right)^2-4\left(\frac{m-2}{m+1}\right)\)

\(=8-\frac{32}{m+1}+\frac{32}{\left(m+1\right)^2}+2-\frac{12}{m+1}+\frac{18}{\left(m+1\right)^2}-4+\frac{12}{m+1}\)

\(=\frac{50}{\left(m+1\right)^2}-\frac{32}{m+1}+6=50\left(\frac{1}{m+1}-\frac{8}{25}\right)^2+\frac{22}{25}\ge\frac{22}{25}\)

\(\Rightarrow A_{min}=\frac{22}{25}\) khi \(\frac{1}{m+1}=\frac{8}{25}\Rightarrow m+1=\frac{25}{8}\Rightarrow m=\frac{17}{8}\)