ho nửa đường tròn tâm O ,đường kính AB .Vẽ các tiếp tuyến Ax ,By với nửa đường tròn cùng phía đối với AB .Từ điểm M trên đường tròn(M khác A;B) vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn ,cắt Ax và By lần lượt tại C và D.
a)Chứng minh COD là tam giác vuông
b)Chứng minh:MC.MD=OM
c)Cho biết OC=BA=2R .Tính AC và BD theo R.
a) Tiếp tuyến tại A cắt tiếp tuyến M tại C => AC = CM
Tiếp tuyến tại B cắt tiếp tuyến M tại D => DM = DB
Xét tam giác ACO và tam giác MCO có:
\(\left\{{}\begin{matrix}CO:chung\\CA=CM\\AO=OM=R\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta ACO=\Delta MCO\left(c-c-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{AOC}=\widehat{MOC}\)
Chứng minh tương tự ta có:
\(\widehat{MOD}=\widehat{DOB}\)
\(\widehat{COA}+\widehat{COM}+\widehat{MOD}+\widehat{DOB}=180^o\)
\(\Rightarrow2\widehat{COM}+2\widehat{MOD}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{COM}+\widehat{MOD}=\widehat{COD}=90^o\)
\(\Rightarrow\Delta OCD\) vuông tại O
b) Xét tam giác OCD vuông tại O,\(OM\perp CD\)tại M.
\(\Rightarrow MC.MD=OM^2\)
c) \(AC=\sqrt{OC^2-OA^2}=\sqrt{4R^2-R^2}=R\sqrt{3}\)
\(\frac{1}{OM^2}=\frac{1}{OC^2}+\frac{1}{OD^2}\Rightarrow\frac{1}{R^2}=\frac{1}{4R^2}+\frac{1}{OD^2}\Rightarrow OD=\frac{2\sqrt{3}}{3}R\)
\(BD=\sqrt{OD^2-OB^2}=\sqrt{\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}R\right)^2-R^2}=\frac{\sqrt{3}}{3}R\)
