Question

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Trên tia AG lấy điểm G' sao cho G là trung điểm của AG'.

a) So sánh các cạnh của tam giác BGG' với các đường trung tuyến của tam giác ABC.

b) So sánh các đường trung tuyến của tam giác BGG' với các cạnh của tam giác AB

 

Answer 1

a) Gọi trung điểm BC, CA, AB lần lượt là M, N, P.

⇒ AM, BN, CP là các đường trung tuyến, G là trọng tâm của ΔABC

Theo tính chất đường trung tuyến của tam giác ta có:

GB = 2/3.BN (1)

GA = 2/3.AM, mà GA = GG’ (do G là trung điểm của AG’) ⇒ GG’ = 2/3.AM (2)

GM=1/2.AG, mà AG=GG’ ⇒ GM=1/2.GG’ ⇒ M là trung điểm của GG’ hay GM = GM’ .

Xét ΔGMC và ΔG’MB có:

      GM = G’M (chứng minh trên)

      

      MC = MB

⇒ ΔGMC = ΔG’MB (c.g.c)

⇒ GC = G’B (hai cạnh tương ứng).

Mà CG = 2/3.CP (tính chất đường trung tuyến) ⇒ G’B = 2/3.CP (3)

Từ (1), (2), (3) ta có : GG’ = 2/3.AM , GB = 2/3.BN, G’B = 2/3.CP.

Answer 2

b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BG, BG’.

* M là trung điểm GG’⇒ BM là đường trung tuyến ΔBGG.

Mà M là trung điểm BC ⇒ BM = ½ .BC (4)

Xét ΔIGG’ và ΔNGA có:

      IG = GN (chứng minh trên)

      

      GG’ = GA (Vì G là trung điểm AG’)

⇒ ΔIGG’ = ΔNGA (c.g.c)

⇒ G’I = AN (hai cạnh tương ứng)

Mà GC = BG’ (chứng minh phần a))

⇒ Nên PG = BK.

ΔGMC = ΔG’MB (chứng minh câu a)

Xét ΔPGB và ΔKBG có:

      PG = BK (chứng minh trên)

      

      BG chung

⇒ ΔPGB = ΔKBG (c.g.c)

⇒ PB = GK (hai cạnh tương ứng)

Answer 3

34324328 con lol lawuerywrt7wretq65 đmm cặc

Answer 4

a. Gọi các đường trung tuyến của ΔABC là:  AH (HB = HC), CI (IB = IA), BK (KA = CK)

Ta có: GA = GG' (GT) và GA = 2/3 AH (trọng tâm G) => GG' = 2/3AH

BG = 2/3 BK (trong tâm G)

Ta có: GH =1/2GA và GG' = GA => GH =1/2GG' => H là trung điểm của GG' (GH = HG')

Xét ΔBHG' và ΔCHG có: 

BH = HC (cách dựng hình)

^BHG' = ^CHG (đối đỉnh)

HG' = HG (cmt)

Do đó: ΔBHG' =  ΔCHG (c.g.c)

Mà CG = 2/3CI => BG' = 2/3CI

Vậy: GG' = 2/3 AH, BG = 2/3BK, BG' = 2/3CI

b, Ta có: AH là trung tuyến của ΔBGG' vì HG = HG' (cmt)

Gọi các trung tuyến còn lại của ΔBGG' là GE (EG' = EB), G'F (FB = FG)

Ta có: BH = HC= 1/2BC (cách dựng hình)

Xét ΔFGG' và ΔKGA có:

FG = KG (=1/3BK)

^FGG' = ^KGA (đối đỉnh)

AG = GG' (GT)

Do đó: ΔFGG' = ΔKGA (c.g.c)

=> FG' = KA (hai cạnh tương ứng)

Mà KA = KC = 1/2AC

=> FG' = 1/2AC

Vì ΔBHG' = ΔCHG (cmt) => ^HBE = ^ICB (hai góc tương ứng) 

=> CI // BG' (TH: hai góc so le trong)

=> ^IGB = ^GBE (so le trong)
Vì BG' = CG (hai cạnh tương ứng) Mà BE = EG' =1/2BG' và GI = 1/2CG => BE = GI

Xét ΔBEG và ΔGIB có:

BE = GI (cmt)

^IGB = ^GBE (cmt)

GB : chung 

Do đó: ΔBEG = ΔGIB (c.g.c)

=> BI = BE = 1/2AB

Vậy: BH =1/2BC, FG' = 1/2AC, GE = 1/2AB